Trouver un équivalent simple de la suite de terme général \[u_n= \left[ \tan\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{1}{n}\right)\right]^{n}\]


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[ID: 516] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:26] [Catégorie(s): Suites équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 361
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:26

Sous forme exponentielle : \[u_n = e^{n\ln\left(\tan \left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\right)}\] puis avec les formules d’addition : \[u_n=e^{n\ln\dfrac{\sqrt 3 + \tan\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}{1-\sqrt 3\tan\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) }} = e^{n\ln \left(\sqrt 3 \dfrac{1 + {\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 3} \tan\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}{1-\sqrt 3\tan\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) }\right)}=e^{n\ln\sqrt 3} e^{ n \ln \left( \dfrac{1 + {\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 3} \tan\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}{1-\sqrt 3\tan\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) }\right)}= \left(\sqrt 3\right)^n e^{ n \ln \left( 1+ \dfrac{4 {\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 3} \tan\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}{1-\sqrt 3\tan\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) }\right)}.\] On cherche alors la limite de \(a_n= n \ln \left( 1+ \dfrac{4 {\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 3} \tan\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}{1-\sqrt 3\tan\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) }\right)\). Avec les équivalents usuels : \[a_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} n \dfrac{4 {\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 3} \tan\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}{1-\sqrt 3\tan\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) } \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} 4 n \dfrac{\sqrt 3}{3}\dfrac{1}{n}=4\dfrac{\sqrt 3}{3}\] donc \(a_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}4\sqrt 3/3\). Il vient alors par composition de limite : \[e^{ n \ln \left( 1+ \dfrac{4 {\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 3} \tan\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}{1-\sqrt 3\tan\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) }\right)} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}e^{{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 3}}\] donc \[\boxed{u_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \sqrt{3})^ne^{{\scriptstyle 4\sqrt{3}\over\scriptstyle 3}}}\]


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