On considère la suite définie par : \[S_n = 1 + 11 + \cdots + \underbrace{11\dots 1}_{n \textrm{ fois } }\] Trouver un équivalent simple de \((S_n)\) lorsque \(n \rightarrow +\infty\).


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[ID: 514] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:26] [Catégorie(s): Suites équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 648
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:26

On calcule pour \(1 \leqslant p \leqslant n\), \[\underbrace{11\dots 1}_{p \textrm{ fois } } = 1 + 10 + 10^2 + \cdots + 10^{p-1} = \dfrac{10^{p} - 1}{9}\] Par conséquent, pour \(n \geqslant 1\), \[S_n = \dfrac{1}{9}\sum_{p=1}^n 10^{p} - \dfrac{n}{9} = \dfrac{10}{9} \dfrac{10^{n} - 1}{10 - 1} - \dfrac{n}{9}\] Finalement, \[\boxed{S_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{10^{n+1}}{9^2}}\]


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