On considère une suite \((u_n)\) définie par \(u_0 > 0\) et \[\forall n \in \mathbb N, \ u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}\] En étudiant la suite \((1/u_n)\), montrez que \(u_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} 1 / n\).


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[ID: 512] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:26] [Catégorie(s): Suites équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 144
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:26

La suite \((v_n)\) de terme général \(1/u_n\) est arithmétique puisque pour tout \(n \in \mathbb N\), \(v_{n+1} = v_n + 1\). On a donc pour tout \(n \in \mathbb N\), \(v_n = v_0 + n\) et il vient que \(v_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} n\). En prenant l’inverse, on obtient que : \(\boxed{u_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} 1 / n}\).


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