Trouver un équivalent de \[u_n = \sqrt{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}}+\sqrt{ \dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}}\]


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[ID: 510] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:26] [Catégorie(s): Suites équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 470
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:26

Écrivons \[u_n = a_n + b_n\] avec \(a_n = \sqrt{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\) et \(b_n = \sqrt{ \dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}}\). On trouve les équivalents \[b_n = \sqrt{\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}} \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{1}{n}\] \[a_n = n^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}}\left( (1+\dfrac{1}{n})^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}-1 \right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{1}{\sqrt{2}{n^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}}} }\]

car \(\left( (1+\dfrac{1}{n})^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}-1\right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{1}{2n}\).

Donc \(u_n = a_n+b_n\) avec \(b_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(a_n\right)\) et il vient que \(u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} a_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \boxed{\dfrac{1}{\sqrt{2}n^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4} } }}\).


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