1. Soit la suite de terme général \[u_n= \sum_{k=0}^{n}e^{k^2}.\] Montrez que \(u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} e^{n^2}\).

  2. Trouvez un équivalent de \(v_n= \sum_{k=0}^{n}k!\).


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[ID: 508] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:26] [Catégorie(s): Suites équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 356
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:26
  1. On met \(e^{n^2}\) en facteur dans la somme : \[u_n= \sum_{k=0}^{n}e^{k^2} = e^{n^2}\left(e^{-n^2} + e^{1-n^2}+ e^{2^2-n^2}+\dots+ e^{\left(n-1\right)^2-n^2 } + 1 \right) .\] Mais \[0\leqslant e^{-n^2} + e^{1-n^2}+ e^{2^2-n^2}+\dots+ e^{\left(n-1\right)^2-n^2 }\leqslant ne^{\left(n-1\right)^2-n^2} =ne^{-2n+1}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\] donc \(\boxed{u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}e^{n^2}}\)

  2. On écrit : \[\sum_{k=0}^{n}k! = n! \left(1+\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{k!}{n!} \right).\] Mais pour tout \(k \in\llbracket 0,n-2\rrbracket\) , \(\dfrac{(n-k)!}{n!} =\dfrac{ 1}{n(n-1)\dots(n-k+1)} < \dfrac{1}{n(n-1)}\) donc \[\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{k!}{n!}= \dfrac{0!}{n!}+\dots+ \dfrac{\left(n-2\right)!}{n!}+\dfrac{\left(n-1\right)!}{n!}\leqslant \dfrac{n-1}{n\left(n-1\right)}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{2}{n}\] et d’après le théorème des gendarmes, \(\sum_{k=0}^{n-1} {\scriptstyle k!\over\scriptstyle n!}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). En conclusion \(\boxed{u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}n!}\).


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