Utiliser des équivalents ou des croissances comparées pour étudier la convergence des suites suivantes.

  1. \(u_n=n^2\left(\sqrt{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}} -1\right)\)

  2. \(u_n = \left( \dfrac{n}{n-x}\right)^n\)\(x\in \mathbb{R}\).

  3. \(u_n=\left(1+{\scriptstyle a\over\scriptstyle n}\right)^n\)\(a\in\mathbb{R}\).

  4. \(u_n=\left({\scriptstyle 2n-1\over\scriptstyle 2n+1}\right)^n\)

  5. \(u_n = \sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}} - \sqrt{n}\)

  6. \(u_n={\scriptstyle 2^{n+4}-5^{n+4}\over\scriptstyle 2^n-5^n}\)


Barre utilisateur

[ID: 504] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:26] [Catégorie(s): Suites équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 990
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:26
  1. \(u_n=n^2\left(\sqrt{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}} -1\right) = n^2\left(\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}} -1\right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} n^2 \times {\scriptstyle-1\over\scriptstyle 2n^2} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \boxed{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}\). On peut aussi utiliser les racines conjuguées.

  2. La suite est définie à partir d’un certain rang (\(n\geqslant E(x) + 1\)). Écrivons-la sous forme exponentielle :

    \[u_n=e^{n\ln\left(\dfrac{n}{n-x}\right)}=e^{-n\ln\left(\dfrac{n-x}{n}\right)}=e^{-n\ln\left(1-\dfrac {x}{n}\right) }\] Comme \(\dfrac{x}{n}\rightarrow 0\), on peut utiliser les équivalents classiques et alors \(-n\ln\left(1-\dfrac {x}{n}\right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} x \textrm{ et donc } u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\boxed{e^x}\).

  3. \(u_n=\left(1+{\scriptstyle a\over\scriptstyle n}\right)^n = e^{n\ln\left( 1 +{\scriptstyle a\over\scriptstyle n} \right)}\) mais \(n\ln\left( 1 +{\scriptstyle a\over\scriptstyle n} \right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} n{\scriptstyle a\over\scriptstyle n} = a\) donc \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \boxed{e^a}\).

  4. Pour tout \(n\geqslant 1\), \[u_n=\left(\dfrac{2n-1}{2n+1}\right)^n = e^{n\ln {\scriptstyle 2n-1\over\scriptstyle 2n+1} } = e^{n\ln\left(1-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 2n+1}\right)}\] mais \(n\ln\left(1-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 2n+1}\right)\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} -\dfrac{2n}{2n+1}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}-1\) donc \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \boxed{1/e}\).

  5. En utilisant les quantités conjuguées, puis en factorisant en haut et en bas par \(\sqrt{n}\), on trouve que \(\forall n > 0\), \[u_n = \dfrac{\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{n}}}}{\sqrt{1+\sqrt{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^{3/2}}}}+1} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\boxed{\dfrac{1}{2}}\]

  6. \(u_n={\scriptstyle 2^{n+4}-5^{n+4}\over\scriptstyle 2^n-5^n} = {\scriptstyle 5^{n+4}\over\scriptstyle 5^n}{\scriptstyle\left({\scriptstyle 2\over\scriptstyle 5}\right)^{n+4} -1 \over\scriptstyle\left({\scriptstyle 2\over\scriptstyle 5}\right)^n -1 }\) mais \(\left(\left({\scriptstyle 2\over\scriptstyle 5}\right)^n \right)\) et \(\left( \left({\scriptstyle 2\over\scriptstyle 5}\right)^{n+4} \right)\) sont des suites géométriques de raison \({\scriptstyle 2\over\scriptstyle 5} \in\left]-1,1\right[\) et donc elles convergent vers \(0\). On obtient alors \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \boxed{5^4}\).


Documents à télécharger