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[ID: 502] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:25] [Catégorie(s): Suites équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 941
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:25

1. \(u_n=\left(1+\sin{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^n = e^{n \ln \left( 1+\sin{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \right) }\) mais \(\sin{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) et \[n \ln \left( 1+\sin{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} n \sin{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} n\times {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}=1\] Par conséquent \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}\boxed{e}\).

2. \(u_n=\left(5n+1\right)^2 \ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3n^2}\right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} {\scriptstyle\left(5n+1\right)^2\over\scriptstyle 3n^2} = {\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n^2} {\scriptstyle\left(5 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^2\over\scriptstyle 3} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \boxed{{\scriptstyle 25\over\scriptstyle 3}}\)

3. \(u_n=n^2\sqrt{\ln \left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^4+n^2+1}\right)} \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} {\scriptstyle n^2\over\scriptstyle\sqrt{n^4+n^2+1 }} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \boxed{1}\)

4. \(u_n=5^n \tan\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 5^n}\right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} 5^n{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 5^n} = \pi\) donc \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \boxed{\pi}\).

5. \(u_n=\sqrt[n]{n} = e^{{\scriptstyle ln n\over\scriptstyle n}}\) mais \(\ln n = \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(n\right)\) donc \({\scriptstyle ln n\over\scriptstyle n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) et par composition \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} e^0=\boxed{1}\).

6. Écrivons pour \(n \in \mathbb N\) : \[u_n = \dfrac{n}{2}\ln\left( 1+\dfrac{2}{n-1}\right)\] Comme \(\dfrac{2}{n-1}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\), \(\ln(1+\dfrac{2}{n-1}) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{2}{n-1}\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{2}{n}\) et donc \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \boxed{1}\).