Utiliser des équivalents ou des croissances comparées pour étudier la convergence des suites suivantes.

  1. \(u_n={\scriptstyle 5^n-n^4\over\scriptstyle n!}\)

  2. \(u_n=n \sin \ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\)

  3. \(u_n = \left( e^{1/n}\right)^{n\ln\bigl(\cos(1/n)\bigr)}\)

  4. \(u_n=n^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\ln n}}\)

  5. \(u_n = n\left( \sqrt{1+\sin(1/n)}-\cos(1 / n) \right)\)

  6. \(u_n=n^{2{\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n}}\)


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[ID: 500] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:25] [Catégorie(s): Suites équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 926
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:25
  1. Comme \(5^n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(n!\right)\) et \(n^4=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(n!\right)\), on a : \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}\boxed{0}\).

  2. \(\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \right)\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\) et donc : \(\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\), ce qui permet d’écrire :
    \(u_n=n \sin \ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} n\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \right)\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} {\scriptstyle n\over\scriptstyle n}=1\) et \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}\boxed{1}\).

  3. \(u_n=\left( e^{1/n}\right)^{n\ln\bigl(\cos(1/n)\bigr)}=e^{\ln\left(\cos(1/n)\right)}=\cos\left(1/n\right) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\boxed{1}\) .

  4. \(u_n=n^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\ln n}} = e^{{\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle\ln n}}=e\).

  5. Ecrivons \[u_n = n\left( a_n + b_n \right)\] avec \[a_n = \sqrt{1+\sin(1/n)}-1 \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{1 }{ 2n}\] et \[b_n = 1-\cos(1/n) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{1}{2n^2}\] Donc puisque \(b_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(a_n\right)\), , par application du résultat prouvé dans l’exercice ,
    \(b_n+a_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} a_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{1}{2n}\). Par conséquent \(\boxed{ u_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{1}{2}}\) et donc \(u_n\rightarrow \dfrac{1}{2}\).

  6. \(u_n=n^{2{\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n}} = e^{2{\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n}\ln n}\) mais pour tout \(n>0\), \(-{\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n} \leqslant\sin n {\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n} \leqslant{\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n}\) (car \(\sin\) est à image dans \(\left[-1,1\right]\) et que \(\ln n/n\geqslant 0\) si \(n\geqslant 1\) ) et \({\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) car \(\ln n = \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(n\right)\). Donc par application du théorème des gendarmes, \(\sin n {\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\). Par composition, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} e^0=\boxed{1}\).


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