Donner des équivalents simples lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) pour les suites de terme général:

  1. \(u_n={\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\)

  2. \(u_n = \sqrt{ e^{n^2+n}-1}- e^n\)

  3. \(u_n=\left( {\scriptstyle e^n\over\scriptstyle 1+e^{-n}}\right)^n\)

  4. \(u_n=\dfrac{n^3-\sqrt{n^2+1}}{\ln n - 2n^2}\)

  5. \(u_n=\ln(n!+n^n+3^n)\)

  6. \(u_n=\dbinom{n}{p}\) avec \(p\in\llbracket 0,n\rrbracket\)


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[ID: 494] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:25] [Catégorie(s): Suites équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 345
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:25
  1. \(u_n={\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = \sqrt{n} \left( \sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} -1 \right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{\sqrt{n}}{2n}\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \boxed{\dfrac{1}{2\sqrt{n}}}\).

  2. \(u_n = e^{{\scriptstyle n^2+n\over\scriptstyle 2}} \left(\sqrt{ 1-e^{-n-n^2}}- e^{{\scriptstyle n-n^2\over\scriptstyle 2}} \right)\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} {\boxed{e^{{\scriptstyle n^2+n\over\scriptstyle 2}}}}\) car \(\left(\sqrt{ 1-e^{-n-n^2}}- e^{{\scriptstyle n-n^2\over\scriptstyle 2}} \right)\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}1\).

  3. \(u_n=\left( {\scriptstyle e^n\over\scriptstyle 1+e^{-n}}\right)^n = e^{n^2} \left(1+e^{-n}\right)^{-n} = e^{n^2} e^{-n\ln \left(1+e^{-n}\right)}\) mais \(n\ln\left(1+e^{-n}\right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} ne^{-n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) donc \(e^{-n\ln \left(1+e^{-n}\right)}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}1\) et \(\boxed{u_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}e^{n^2}}\).

  4. \(u_n=\dfrac{n^3-\sqrt{n^2+1}}{\ln n - 2n^2} = -\dfrac{n^3}{2n^2} \dfrac{1-\sqrt{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^4} + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^6}}}{-{\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle 2n^2} + 1} \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \boxed{-\dfrac{n}{2}}\) car \(\dfrac{1-\sqrt{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^4} + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^6}}}{-{\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle 2n^2} + 1} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}1\).

  5. \(u_n=\ln(n!+n^n+3^n) = \ln\left(n^n \left(1 + {\scriptstyle n!\over\scriptstyle n^n} + {\scriptstyle 3^n\over\scriptstyle n^n} \right) \right) =n\ln n + \ln\left(1 + {\scriptstyle n!\over\scriptstyle n^n}+ {\scriptstyle 3^n\over\scriptstyle n^n} \right)\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}\boxed{n\ln n}\) car \(\ln\left(1 + {\scriptstyle n!\over\scriptstyle n^n}+ {\scriptstyle 3^n\over\scriptstyle n^n}\right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} {\scriptstyle n!\over\scriptstyle n^n}+ {\scriptstyle 3^n\over\scriptstyle n^n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).

  6. \(u_n=\dbinom{n}{p}=\dfrac{n\left(n-1\right)\dots\left(n-p+1\right)}{p!}=\dfrac{n^p}{p!}{\left(1- {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\dots\left(1-{\scriptstyle p-1\over\scriptstyle n} \right) }\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \boxed{\dfrac{n^p}{p!}}\) car \(\left(1- {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\dots\left(1-{\scriptstyle p-1\over\scriptstyle n} \right)\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}1\)


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