Donner des équivalents simples lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) pour les suites de terme général:

  1. \(u_n=n^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}-1\)

  2. \(u_n=\dfrac{\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}+1}{\tan {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}}\)

  3. \(u_n= \ln\left(n+\sqrt{n^2+1}\right)\)

  4. \(u_n=(n+3\ln n)e^{-(n+1)}\)

  5. \(u_n=\dfrac{n!+e^n}{2^n+3^n}\)

  6. \(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)


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[ID: 490] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:25] [Catégorie(s): Suites équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 791
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:25
  1. \(u_n={n^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}-1} = e^{{\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n}} - 1 \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \boxed{{\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n}}\) par application des formules usuelles sur les équivalents et car \({\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\).

  2. \(u_n=\dfrac{\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}+1}{\tan {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}} \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}+1}{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2} } = n^2 \left(\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} +1\right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \boxed{ n^2}\) car \(\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} +1 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\).

  3. \(u_n= \ln\left(n+\sqrt{n^2+1}\right)=\ln n + \ln \left(1+\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}}\right)\) mais \(\dfrac{\ln \left(1+\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}}\right)}{\ln n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\)
    donc \(\ln \left(1+\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}}\right)=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(\ln n\right)\) et donc d’après l’exercice , \(\boxed{u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}\ln n}\).

  4. \(u_n=(n+3\ln n)e^{-(n+1)} = ne^{-(n+1)} \left(1 + 3 {\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n}\right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \boxed{ne^{-(n+1)}}\) car \(1 + 3 {\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\)

  5. \(u_n=\dfrac{n!+e^n}{2^n+3^n} = \dfrac{n!}{3^n} \dfrac{ 1 + {\scriptstyle e^n\over\scriptstyle n!} }{1+\left({\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}\right)^n } \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \boxed{\dfrac{n!}{3^n}}\) car \(\dfrac{ 1 + {\scriptstyle e^n\over\scriptstyle n!} }{1+\left({\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}\right)^n } \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\)

  6. \(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} =\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{\sqrt{n^2-1}}=\dfrac{2}{\sqrt{n^2-1}\left(\sqrt{n+1} +\sqrt{n-1}\right)}\)
    \(\phantom{u_n}=\dfrac{1}{n\sqrt n}\dfrac{2}{\sqrt{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}}\left(\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} + \sqrt{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}\right)} \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}\boxed{\dfrac{1}{n\sqrt n}}\) car \(\dfrac{2}{\sqrt{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}}\left(\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} + \sqrt{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}\right)}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1\).


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