Soient \(\left(u_n\right)\), \(\left(a_n\right)\) et \(\left(b_n\right)\) des suites réelles telles que : \[\forall n\in\mathbb{N},\quad u_n=a_n+b_n \quad \textrm{ et} \quad b_n =\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(a_n\right)\] Montrer que \(u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}a_n\).


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[ID: 488] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:25] [Catégorie(s): Suites équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 64
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:25

Comme \(b_n =\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(a_n\right)\), il existe une suite \(\left(\varepsilon_n\right)\) tel que à partir d’un certain rang \(b_n=\varepsilon_n a_n\) et tel que \(\varepsilon_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\). Donc, à partir d’un certain rang, \(u_n=\left(1+\varepsilon_n\right)a_n\). Comme \(\left(1+\varepsilon_n\right)\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}1\), on a bien \(u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}a_n\).


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