1. Montrer que la suite de terme général \[S_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\] converge vers une limite finie \(l \in \mathbb{R}\). begindivindicbegintexténdtextEtudier les suites extraites \(\left(S_{2n}\right)\) et \(\left(S_{2n+1}\right)\) et montrer qu’elles sont adjacentes. enddivindic
  2. Calculer une valeur approchée de \(l\) à \(10^{-1}\) près.


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[ID: 486] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:20] [Catégorie(s): Suites extraites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 808
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:20
  1. Définissons les deux suites extraites \((u_n)=(S_{2n})\) et \((v_n)=(S_{2n+1})\). On calcule pour \(n\in \mathbb{N}^*\): \[u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{\sqrt{2n+2}} - \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} \leqslant 0\] \[v_{n+1}-v_n = \dfrac{1}{\sqrt{2n+2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+3}} \geqslant 0\] donc \((u_n)\) est décroissante et \((v_n)\) croissante. Si \((d_n)=(u_n-v_n)\), \[d_n = \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\] Les deux suites \((S_{2n})\) et \(S_{2n+1})\) sont adjacentes et convergent donc vers la même limite finie \(l\).

  2. Pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), \(l\) est toujours compris entre \(S_n\) et \(S_{n+1}\). Il vient donc que \[\left| S_n -l \right| \leqslant\left| S_n-S_{n+1}\right| = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\] Pour que \(S_n\) soit une valeur approchée de \(l\) à \(10^{-1}\) près, il suffit que \(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\leqslant 10^{-1}\), c’est-à-dire \(\boxed{n\geqslant 99}\).
    On calcule alors \(S_{99} = -0.6\).


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