Etudiez la suite de terme général : \[u_n = \sum_{k=0}^n \dfrac{ (-1)^k}{k!}\]
( ).
Étudier les suites extraites \(\left(u_{2n}\right)\) et \(\left(u_{2n+1}\right)\) et montrer qu’elles sont adjacentes.

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[ID: 484] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:20] [Catégorie(s): Suites extraites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 772
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:20

Soit \(n\in \mathbb{N}\). Posons : \[\alpha_n=u_{2n} = \sum_{k=0}^{2n} \dfrac{ (-1)^k}{k!} \quad \textrm{ et} \quad\beta_n=u_{2n+1}= \sum_{k=0}^{2n+1} \dfrac{ (-1)^k}{k!}.\] La suite \(\left(\alpha_n\right)\) est décroissante. En effet : \[\alpha_{n+1}-\alpha_n = \sum_{k=0}^{2n+2} \dfrac{ (-1)^k}{k!}-\sum_{k=0}^{2n} \dfrac{ (-1)^k}{k!} =\dfrac{-1}{\left(2n+1\right)!}+\dfrac{1}{\left(2n+2\right)!}<0\] et \(\left(\beta_n\right)\) est croissante : \[\beta_{n+1}-\beta_n = \sum_{k=0}^{2n+3} \dfrac{ (-1)^k}{k!}-\sum_{k=0}^{2n+1} \dfrac{ (-1)^k}{k!} =\dfrac{1}{\left(2n+2\right)!}+\dfrac{-1}{\left(2n+3\right)!} >0\] De plus, \(\beta_n-\alpha_n=\dfrac{\left(-1\right)^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\). Les deux suites sont donc adjacentes. Elles convergent alors vers la même limite \(l\in \mathbb{R}\) et donc, d’après le cours comme \(\left(u_{2n}\right)\) et \(\left(u_{2n+1}\right)\) ont la même limite \(l\), la suite \((u_n)\) converge vers \(l\).


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