Soit une suite \((u_n)\) telle que les suites extraites \((u_{2n})\), \((u_{2n+1})\) et \((u_{3n})\) convergent. Montrez que la suite \((u_n)\) converge.


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[ID: 480] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:20] [Catégorie(s): Suites extraites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 714
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:20

Il existe \((l,l',l'') \in \mathbb{R}^{3}\) tels que \(u_{2n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\), \(u_{2n+1} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l'\) et \(u_{3n}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l''\). Montrons que \(l = l' = l''\). Comme la suite \((u_{6n})\) est extraite de la suite \((u_{2n})\), elle converge vers \(l\) (toute suite extraite d’une suite convergente est convergente de même limite). Mais la suite \((u_{6n})\) est également extraite de la suite \((u_{3n})\) et elle converge donc vers \(l''\). Par unicité de la limite, \(l = l''\). Considérons la suite \((u_{6n+3})\). Comme elle est extraite de \((u_{2n+1})\) et de \((u_{3n})\), par le même raisonnement, on obtient que \(l' = l''\). Par conséquent, les suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) convergent vers la même limite, et d’après le cours, on en déduit que la suite \((u_n)\) converge.


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