Soit \((u_n)\) une suite croissante.

  1. On suppose qu’il existe une suite extraite de \((u_n)\) qui diverge. Montrer que \((u_n)\) diverge.

  2. On suppose qu’il existe une suite extraite de \((u_n)\) qui converge. Montrer que \((u_n)\) converge.


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[ID: 476] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:20] [Catégorie(s): Suites extraites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 850
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:20
  1. Si \(\left(u_n\right)\) convergeait alors il en serait de même de toute suite extraite, donc \(\left(u_n\right)\) diverge.

  2. Comme \(\left(u_n\right)\) est croissante, d’après le théorème de la limite monotone, soit elle converge, soit elle tend vers \(+\infty\). Si \(\left(u_n\right)\) tend vers \(+\infty\), alors toute suite extraite de \(\left(u_n\right)\) tend vers \(+\infty\) (cette propriété se démontre aisément à l’aide de la définition de la divergence d’une suite vers \(+\infty\)), ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc \(\left(u_n\right)\) converge.


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