1. Étudiez les suites de terme général \[u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{kk!}\] \[v_n= u_n + \dfrac{1}{n^2 n!}\]

  2. Montrez que leur limite commune est irrationnelle.


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[ID: 474] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Suites adjacentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 113
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:18

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\).

  1. La suite \(\left(u_n\right)\) est clairement croissante. On montre de plus que : \[v_{n+1}-v_n==\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)!} + \dfrac{1}{\left(n+1\right)^2\left(n+1\right)!}-\dfrac{1}{n^2n!} =-\dfrac{n^2+3n+1}{(n+1)^2(n+1)!n^2}.\] Donc \(\left(v_n\right)\) est décroissante. Comme \(v_n-u_n=1/(n^2n!)\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\), les deux suites sont adjacentes. Elles convergent donc vers la même limite \(l\in\mathbb{R}\).

  2. Remarquons que comme \(u_2=5/4\), \(v_2=11/8\), et que \(5/4\leqslant l \leqslant 11/8\), \(l\) ne peut être un entier. Si \(l\) était rationnelle, notons la \(\dfrac{p}{q}\)\(p,q\in\mathbb{N}\), \(q\geqslant 2\), on aurait \(u_q < \dfrac{p}{q} < v_q\) et en multipliant par \(qq!\), il viendrait \(qq!u_q<pq!<qq!u_q+ \dfrac{1}{q}\), ce qui est une absurdité car \(pq!\) est un entier.


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