1. Montrer que les suites de terme général \[u_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k} ,\quad v_n = \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k}\] sont adjacentes.

  2. Montrer que : \(\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \dfrac{1}{n+1}\leqslant\ln \dfrac{n+1}{n}\leqslant\dfrac{1}{n}\).

  3. En déduire que : \(\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad u_n \leqslant\ln 2 \leqslant v_n\).

  4. Que peut-on en conclure ?


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[ID: 472] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Suites adjacentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 85
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:18
  1. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Calculons : \[\begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= \left(\dfrac{1}{n+1+1} + \dfrac{1}{n+1+2}+\dots+\dfrac{1}{n+1+n-1}+\dfrac{1}{n+1+n}+\dfrac{1}{n+1+n+1}\right) - \left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dots+\dfrac{1}{n+n}\right) \\ &= \dfrac{1}{2n+2}+\dfrac{1}{2n+1}- \dfrac{1}{n+1}\\ &= \dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(2n+2\right)} \end{aligned}\] donc \(\left(u_n\right)\) est croissante. De même : \[\begin{aligned} v_{n+1}-v_n&=&\left(\dfrac{1}{n+1} +\dots+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2} \right)-\left(\dfrac{1}{n}+\dots+\dfrac{1}{2n}\right)\\ &=&\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n}\\ &=&-\dfrac{3n+2}{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}\end{aligned}\] et \(\left(v_n\right)\) est décroissante. Enfin : \(v_n-u_n =1/n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). Les deux suites sont donc adjacentes et convergent vers une même limite.

  2. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On sait que \(\forall x>-1,\quad \ln\left(1+x\right)\leqslant x\). Donc : \(\ln\dfrac{n+1}{n} = \ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\leqslant\dfrac{1}{n}\). De même \[\ln\dfrac{n+1}{n}=-\ln\dfrac{n}{n+1}=-\ln\dfrac{n+1-1}{n+1}=-\ln\left(1-\dfrac{1} { n+1 } \right) \geqslant\dfrac{1}{ n+1 }.\]

  3. On utilise les inégalités précédentes : \[\begin{aligned} u_n &= \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dots+\dfrac{1}{n+n} \leqslant \ln \dfrac{n+1}{n}+\ln \dfrac{n+2}{n+1}+\dots+ \ln \dfrac{n+n}{n+n-1} =\ln \left(\dfrac{n+1}{n} \times \dfrac{n+2}{n+1} \times \dots\times \dfrac{n+n}{n+n-1}\right)=\ln\dfrac{2n}{n}\\ &=\ln2.\end{aligned}\] \[v_n=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\dots+\dfrac{1}{2n} \geqslant \ln\dfrac{n+1}{n}+\ln\dfrac{n+2}{n+1}+\dots+\ln\dfrac{2n+1}{2n}= \ln \left(\dfrac{n+1}{n}\times \dfrac{n+2}{n+1}\times \dots \times\dfrac{2n+1}{2n}\right)= \ln \dfrac{2n+1}{n}\geqslant\ln 2\]

  4. Notons \(l\) la limite commune aux deux suites. Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), on a : \(u_n\leqslant\ln 2 \leqslant v_n\) donc par passage à la limite \(l\leqslant\ln 2\leqslant l\) et donc \(l=\ln 2\).


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