1. Montrez que les deux suites de terme général \[u_n= \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}} -2\sqrt{n+1}\] \[v_n= \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}}-2\sqrt{n}\] sont convergentes de même limite.

  2. En déduire un équivalent simple de la suite de terme général \[S_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}\]


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[ID: 470] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Suites adjacentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 781
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:18
  1. On calcule pour \(n\in \mathbb{N}^*\) : \[u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}} -2\sqrt{n+2}+2\sqrt{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} -\dfrac{2}{ \sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}\] et puisque \(\sqrt{n+2}\geqslant \sqrt{n+1}\), il vient que \(u_{n+1}-u_n \geqslant 0\). Donc \((u_n)\) est croissante. On montre de même que \((v_n)\) est décroissante. On calcule \[0\leqslant d_n=v_n-u_n=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\dfrac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\] et donc \((d_n)\) converge vers \(0\). Les deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont donc adjacentes et convergent donc vers la même limite \(l\in \mathbb{R}\).

  2. Puisque \(\forall n\in \mathbb{N}^*\), \(S_n = v_n + 2\sqrt{n}=2\sqrt{n}\left( 1+ \dfrac{v_n}{2\sqrt{n} } \right)\), il vient que \(\boxed{S_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} 2\sqrt{n}}\). En effet, comme \(\left(v_n\right)\) est convergente, on sait que  \(\dfrac{v_n}{2\sqrt{n}}\rightarrow 0\).


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