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[ID: 468] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Suites adjacentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

Solution(s)

Constante d’Euler et développement asymptotique de la série harmonique
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:18

1. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). \[H_{2n}-H_n = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \dots+ \dfrac{1}{2n} \geqslant\dfrac{1}{2n} + \dots+ \dfrac{1}{2n} = \dfrac{n}{2n}=\dfrac{1}{2}\]

2. La suite \(\left(H_n\right)\) est clairement croissante. Par application du théorème de la limite monotone, on peut affirmer que soit elle converge vers un réel \(l\) soit elle tend vers \(+\infty\). Si \(\left(H_n\right)\) convergeait vers un réel \(l\) alors il en serait de même de toute suite extraite et donc \(H_{2n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}l\). Par opérations sur les limites, on aurait alors : \[0=l-l = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}H_{2n}-H_n} \geqslant\dfrac{1}{2}\] ce qui est absurde. Par conséquent \(\left(H_n\right)\) diverge.

3. Il suffit d’étudier la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left]-1,+\infty\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \ln\left(1+t\right)-t \end{array} \right.\).

4. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). \[u_{n+1}-u_n = H_{n+1} - \ln\left(n+2\right) - H_n + \ln\left(n+1\right) = \dfrac{1}{n+1} - \ln\dfrac{n+2}{n+1} = \dfrac{1}{n+1} - \ln\left(1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1}\right) \geqslant\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+1} =0\] donc \(\left(u_n\right)\) est croissante. De la même façon : \[v_{n+1}-v_n = \dfrac{1}{n+1} +\ln\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{1}{n+1} + \ln\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right) \leqslant\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+1}\leqslant 0\] et \(\left(v_n\right)\) est décroissante. De plus : \[v_n - u_n = \ln\dfrac{n+1}{n} = \ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right) \leqslant\dfrac{1}{n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\] Les deux suites sont donc bien adjacentes et elles convergent vers une même limite \(\gamma\in\mathbb{R}\).

5. Comme \(u_1 = 1-\ln\left(2\right)>0\) et \(v_1=1-\ln 1=1\), on a nécessairement \(\gamma \in \left]0,1\right[\). Par ailleurs, comme \(\left(v_n\right)\) admet \(\gamma\) comme limite, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \[H_n-\ln n - \gamma = v_n - \gamma \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\] et donc : \(\boxed{ H_n =\ln n + \gamma +\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(1\right)}\).