Pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), on considère le terme général \(H_n\) de la série harmonique \[\displaystyle{H_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} .}\]

  1. Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad H_{2n}-H_n \geqslant\dfrac{1}{2}\).

  2. En déduire que \(H_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\).

  3. Prouver l’inégalité : \(\forall t\in\left]-1,+\infty\right[,\quad \ln\left(1+t\right)\leqslant t\).

  4. On introduit les suites de terme général, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) : \[u_n = H_n - \ln\left(n+1\right) \quad \textrm{ et} \quad v_n = H_n - \ln n\] Montrer que \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont adjacentes.

  5. Montrer qu’il existe un réel \(\gamma\in \left]0,1\right[\) tel que : \[H_n =\ln n + \gamma +\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(1\right)\] Le réel \(\gamma\) est appelé constante d’Euler et cette égalité donne les deux premiers termes du développement asymptotique de la série harmonique.


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[ID: 468] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Suites adjacentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Constante d’Euler et développement asymptotique de la série harmonique
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:18
  1. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). \[H_{2n}-H_n = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \dots+ \dfrac{1}{2n} \geqslant\dfrac{1}{2n} + \dots+ \dfrac{1}{2n} = \dfrac{n}{2n}=\dfrac{1}{2}\]

  2. La suite \(\left(H_n\right)\) est clairement croissante. Par application du théorème de la limite monotone, on peut affirmer que soit elle converge vers un réel \(l\) soit elle tend vers \(+\infty\). Si \(\left(H_n\right)\) convergeait vers un réel \(l\) alors il en serait de même de toute suite extraite et donc \(H_{2n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}l\). Par opérations sur les limites, on aurait alors : \[0=l-l = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}H_{2n}-H_n} \geqslant\dfrac{1}{2}\] ce qui est absurde. Par conséquent \(\left(H_n\right)\) diverge.

  3. Il suffit d’étudier la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left]-1,+\infty\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \ln\left(1+t\right)-t \end{array} \right.\).

  4. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). \[u_{n+1}-u_n = H_{n+1} - \ln\left(n+2\right) - H_n + \ln\left(n+1\right) = \dfrac{1}{n+1} - \ln\dfrac{n+2}{n+1} = \dfrac{1}{n+1} - \ln\left(1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1}\right) \geqslant\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+1} =0\] donc \(\left(u_n\right)\) est croissante. De la même façon : \[v_{n+1}-v_n = \dfrac{1}{n+1} +\ln\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{1}{n+1} + \ln\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right) \leqslant\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+1}\leqslant 0\] et \(\left(v_n\right)\) est décroissante. De plus : \[v_n - u_n = \ln\dfrac{n+1}{n} = \ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right) \leqslant\dfrac{1}{n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\] Les deux suites sont donc bien adjacentes et elles convergent vers une même limite \(\gamma\in\mathbb{R}\).

  5. Comme \(u_1 = 1-\ln\left(2\right)>0\) et \(v_1=1-\ln 1=1\), on a nécessairement \(\gamma \in \left]0,1\right[\). Par ailleurs, comme \(\left(v_n\right)\) admet \(\gamma\) comme limite, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \[H_n-\ln n - \gamma = v_n - \gamma \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\] et donc : \(\boxed{ H_n =\ln n + \gamma +\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(1\right)}\).


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