Montrer que les suites de terme général \[u_n = 1+\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{k^2(k+1)^2}\] \[v_n = u_n + \dfrac{1}{3n^2}\] sont adjacentes.


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[ID: 466] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Suites adjacentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 869
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:18

La suite \(\left(u_n\right)\) est clairement croissante. Montrons que \(\left(v_n\right)\) est décroissante. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). \[v_{n+1}-v_n = u_{n+1}-u_n + \dfrac{1}{3\left(n+1\right)^2}- \dfrac{1}{3n^2} = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2\left(n+1\right)^2} + \dfrac{1}{3\left(n+1\right)^2}- \dfrac{1}{3n^2} = \dfrac{3 + n^2 -\left(n+1\right)^2 }{3n^2\left(n+1\right)^2} = 2\dfrac{(-n+1) }{3n^2\left(n+1\right)^2}\] et cette quantité est négative ou nulle dés que \(n\geqslant 1\). Par suite \(\left(v_n\right)\) est décroissante. Il est de plus clair que \(v_n-u_n = \dfrac{1}{3n^2} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\) et les deux suites sont donc bien adjacentes.


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