Montrer que les suites suivantes \((u_n)\) et \((v_n)\), données par leur terme général, sont adjacentes :

  1. \(u_n=\displaystyle{\sum_{i=0}^n \dfrac{1}{i!} \quad \textrm{ et} \quad v_n=u_n+\dfrac{1}{n!}}\)

  2. \(u_n=\displaystyle{\sum_{i=0}^n \dfrac{1}{i!}} \quad \textrm{ et} \quad v_n=u_n+\dfrac{1}{n~n!}\)


Barre utilisateur

[ID: 464] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Suites adjacentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 216
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:18
  1. La suite \(\left(u_n\right)\) est clairement croissante et \(u_n-v_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\). Il reste à montrer que \(\left(v_n\right)\) est décroissante. Soit \(n\in\mathbb{N}\). On a \[v_{n+1}-v_n=u_{n+1}-u_{n}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)!}-\dfrac{1}{n!}=2\dfrac{1}{\left(n+1\right) ! } -\dfrac{1}{n!}=\dfrac{1-n}{\left(n+1\right)!}<0\] dés que \(n>1\) et donc \(\left(v_n\right)\) est décroissante.

  2. La suite \(\left(u_n\right)\) est clairement croissante et \(u_n-v_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\). Montrons que \(\left(v_n\right)\) est décroissante. Soit \(n\in\mathbb{N}\). On a : \[\begin{aligned} v_{n+1}-v_n&=u_{n+1}-u_{n}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)!}-\dfrac{1}{n.n!}=\dfrac{1}{ \left(n+1\right)!}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)!}-\dfrac{1}{n.n!}=\dfrac{n\left(n+1\right)+n-\left(n+1\right)^2}{ n\left(n+1\right)\left(n+1\right)!}\\ &= -\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+1\right)!}<0.\end{aligned}\]


Documents à télécharger