Soit \(\left(a,b\right)\in\mathbb{R}^2\). On considère la suite \(\left(u_n\right)\) donnée par : \[\begin{cases} u_0=a,\quad u_1=b\\u_{n+2}={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(u_{n+1}+u_n\right)\end{cases}\] Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), posons de plus : \(v_n=u_{n+1}-u_n\).

  1. Montrer que \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique.

  2. Calculer, en fonction de \(n\), la somme \(S_n=\sum_{k=0}^{n-1} v_k\).

  3. En déduire, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n\) en fonction de \(n\) ainsi que la limite de \(\left(u_n\right)\).


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[ID: 462] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:17] [Catégorie(s): Sommes géométriques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 77
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:17
  1. Soit \(n\in\mathbb{N}\). On a : \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{u_{n+2}-u_{n+1}}{u_{n+1}-u_{n}}=\dfrac{\dfrac{1}{2} \left( u_{n+1}+u_n\right)-u_{n+1}}{u_{n+1}-u_{n}}=-\dfrac{1}{2}\). La suite \(\left(v_n\right)\) est donc une suite géométrique de raison \(-\dfrac{1}{2}\). Son premier terme est \(v_0=u_1-u_0=b-a\).

  2. On en déduit que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(v_n=\left(b-a\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\). Soit \(n\in\mathbb{N}\). On calcule :
    \(S_n=\left(b-a\right)\dfrac{1-\left(-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right)^{n}}{1+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2\left(b-a\right)}{3} \left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)\).

  3. Par télescopage, on a aussi \(S_n=\sum_{k=0}^{n-1} v_k=u_n-u_0\) et donc \(u_n=\dfrac{2\left(b-a\right)}{3}\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right)+a\). On en déduit que \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \boxed{\dfrac{a+2b}{3}}\).


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