Étudier la convergence de la suite de terme général

\[u_n=\dfrac{1}{n}\left(1+1+\dfrac{1}{n}+ \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2 + \dots+\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n-1}\right).\]


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[ID: 460] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:17] [Catégorie(s): Sommes géométriques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 208
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:17

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On a :\[u_n=\dfrac{1}{n}\left(1+1+\dfrac{1}{n}+ \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2 + \dots+\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n-1}\right)=\dfrac{1}{n} \dfrac{1-\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n } { 1-\left(1+\dfrac{1}{n}\right) } = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n-1\] mais \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} e\) (voir exercice ) et donc \(\boxed{u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} e-1}\).


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