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Beppo Levi
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète à valeurs réelles positives. En considérant \(Y=\lceil X\rceil\), montrer que \(0\leq \mathbb E (X)\leq \sum_{k=0}^\infty \mathbb P (X>k)\).
Soit \((X_n)\) une suite de variables aléatoires discrètes réelles positives sur un même espace probabilisé \((\Omega ,\mathcal T ,\mathbb P )\). On suppose : \(\forall \omega \in \Omega\), la suite \((X_n(\omega ))\) tend vers \(0\) en décroissant et \(\mathbb E (X_{0} )<+\infty\). Montrer que \(\mathbb E (X_n)\to _{n\to +\infty }0\).
Soit \((X_n)\) une suite de variables aléatoires discrètes réelles positives sur un même espace probabilisé \((\Omega ,\mathcal T ,\mathbb P )\) telle que pour tout \(\omega \in \Omega\) la série \(\sum_{n=0}^\infty X_n(\omega )\) converge vers un réel noté \(X(\omega )\). On suppose aussi que \(X\) est une variable aléatoire discrète (réelle positive). Montrer que \(\mathbb E (X)=\sum_{n=0}^\infty \mathbb E (X_n)\). Attention, ce résultat (bien utile dans certains exercices d’oral) est hors programme !
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[ID: 4889] [Date de publication: 14 mai 2024 13:00] [Catégorie(s): Espérance et variance ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Beppo Levi
Par Michel Quercia le 14 mai 2024 13:00
Par Michel Quercia le 14 mai 2024 13:00
\(\sum_{k=0}^\infty \mathbb P (X>k)=\sum_{k=0}^\infty \mathbb P (Y>k)=\mathbb E (Y)\geq \mathbb E (X)\).
Soit \(\varepsilon>0\) : on fixe \(N\) tel que \(\sum_{k=N}^\infty \mathbb P (X_{0} >k)\leq \varepsilon\).
Pour \(n\in \mathbb{N}\), on a \(0\leq \mathbb E (X_n)\leq \sum_{k=0}^{N-1}\mathbb P (X_n>k)+\sum_{k=N}^\infty \mathbb P (X_n>k)\). La première somme tend vers \(0\) par continuité décroisante, \(N\) étant fixé. La deuxième est majorée par \(\sum_{k=N}^\infty \mathbb P (X_{0} >k)\leq \varepsilon\).
La suite \((X-X_{0} -\dots-X_n)\) relève de la question précédente.
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