Soit \((\Omega ,\mathcal A ,\mathbb P )\) un espace probabilisé et \((E_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite d’évènements telle que \(\sum_{n\in \mathbb{N}}\mathbb P (E_n)<+\infty\).

  1. Soit \(Z=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mathbb 1 _{E_n}\). Montrer que \(Z\) est une variable aléatoire discrète.

  2. Soit \(F=\{ \omega \in \Omega \text{ tq }\omega\) appartient à un nombre fini de \(E_n\}\). Montrer que \(F\) est un évènement et que \(\mathbb P (F)=1\).

  3. Montrer que \(Z\) admet une espérance.


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[ID: 4887] [Date de publication: 14 mai 2024 13:00] [Catégorie(s): Espérance et variance ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Borel-Cantelli, Centrale 2015
Par Michel Quercia le 14 mai 2024 13:00
  1. L’ensemble des valeurs possibles est \(\mathbb{N}\cup \{ \infty \}\), dénombrable.

    Pour \(k\in \mathbb{N}\), \(Z_k=\sum_{n=0}^k\mathbb 1 _{E_n}\) est une variable aléatoire discrète par addition.

    Donc \(\{ Z\geq p\} =\bigcup _{k=0}^{\infty }\{ Z_k\geq p\}\) est un évènement pour tout \(p\in \mathbb{N}\). On en déduit que les ensembles \(\{ Z=p\} =\{ Z\geq p\} \setminus \{ Z\geq p+1\}\) et \(\{ Z=\infty \} =\bigcap_{p=0}^\infty \{ Z\geq p\}\) sont des évènements.

  2. \(\overline F=\{ Z=\infty \}\) est un évènement, donc \(F\) en est un.

    Par ailleurs, \(\{ Z\geq p\} \subset \bigcup _{n=p-1}^\infty E_n\) donc \(\mathbb P (Z\geq p)\leq \sum_{n=p-1}^\infty \mathbb P (E_n)\to _{p\to \infty }0\) puis \(\mathbb P (Z=\infty )=0\) par continuité décroissante.

  3. Le théorème d’interversion série-espérance étant hors programme, il faut ruser \(\dots\) \[\begin{aligned} \sum_{n=0}^k\mathbb P (E_n) &=\mathbb E (Z_k)\\ &=\sum_{i=1}^\infty \mathbb P (Z_k\geq i)\\ &\geq \sum_{i=1}^\infty \mathbb P (Z_k\geq i, Z_k=Z)\\ &=\sum_{i=1}^\infty \mathbb P (Z\geq i, Z_k=Z)\\ &\geq \sum_{i=1}^I\mathbb P (Z\geq i, Z_k=Z) \end{aligned}\]\(I\) est un entier quelconque. A \(I\) fixé, on fait tendre \(k\) vers l’infini. Le premier membre converge vers \(\sum_{n=0}^\infty \mathbb P (E_n)\) tandis que le dernier converge vers \(\sum_{i=1}^I\mathbb P (Z\geq i, Z\neq \infty )\) par continuité croissante et finitude de \(I\). Comme \(\mathbb P (Z=\infty )=0\), on a \(\mathbb P (Z\geq i, Z\neq \infty ) = \mathbb P (Z\geq i)\). Ainsi, pour tout \(I\) fixé : \[\sum_{n=0}^\infty \mathbb P (E_n)\geq \sum_{i=1}^I\mathbb P (Z\geq i).\] On fait alors tendre \(I\) vers l’infini : \(\sum_{n=0}^\infty \mathbb P (E_n)\geq \mathbb E (Z)\), ce qui résout la question. Comme l’inégalité inverse est triviale, on a en réalité \(\mathbb E (Z)=\sum_{n=0}^\infty \mathbb P (E_n)\) et on a ainsi espérancé terme à terme\(\dots\)


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