Soient \((X_n)_{n\geq 1}\) et \(N\) des variables aléatoires sur un même espace probabilisé, mutuellement indépendantes, à valeurs dans \(\mathbb{N}\), les \(X_i\) ayant toutes même loi. On considère \(S = X_{1}+\dots+X_N\) (somme d’un nombre aléatoire de variables aléatoires, avec la convention \(S=0\) si \(N=0\)).

  1. Montrer que \(S\) est une variable aléatoire et déterminer sa fonction génératrice en fonction des fonctions génératrices de \(N\) et \(X_{1}\).

  2. En déduire \(\mathbb E (S)=\mathbb E (N)\mathbb E (X_{1})\) avec la convention \(0\times \infty =\infty \times 0=0\).


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[ID: 4885] [Date de publication: 14 mai 2024 13:00] [Catégorie(s): Espérance et variance ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Formule de Wald
Par Michel Quercia le 14 mai 2024 13:00
  1. \(\{ S=k\} =\bigcup _{i=0}^\infty \bigcup _{k_{1}+\dots+k_i=k}\{ N=i,X_{1}=k_{1},\dots,X_i=k_i\}\), \(G_S(z) = G_N\circ G_{X_{1}}(z)\).

  2. Le cas où \(N\) et \(X_{1}\) ont des espérances finies est immédiat, de même que le cas où une des deux variables a une espérance nulle.

    Si \(0<\mathbb E (N)<\infty =\mathbb E (X_{1})\), pour \(K\in \mathbb{N}\) on considère \(Y_i=\min(X_i,K)\) et \(T=Y_{1}+\dots+Y_N\). On a \(X_i\geq Y_i\) donc \(S\geq T\) puis \(\mathbb E (S)\geq \mathbb E (T)=\mathbb E (N)\mathbb E (Y_{1}) \geq \mathbb E (N)\sum_{k=0}^Kk\mathbb P (X_{1}=k)\to _{K\to \infty }\infty\). On traite de manière analogue le cas \(0<\mathbb E (X_{1})<\infty =\mathbb E (N)\).


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