Soient \(X,Y\) deux variables aléatoires complexes discrètes indépendantes et de même loi, ayant une espérance. On se propose de prouver : \(\mathbb E (|X+Y|)\geq \mathbb E (|X-Y|)\).

  1. Justifier : \(\forall x,y\in \mathbb{R}\), \(|x+y| - |x-y| = 2\min(|x|,|y|)\mathop{\rm sgn}\nolimits(xy)\) et \(\forall z\in \mathbb{C}\), \(\int _{\theta =0}^{2\pi }|\mathop{\mathrm{Re}}(ze^{-i\theta })|\,d \theta =4|z|\).

  2. Traiter le cas où \(X,Y\) sont à valeurs dans \(\mathbb{Z}\). On utilisera les variables aléatoires \(X_{+} =\max(X,0)\), \(X^-=\max(-X,0)\), et \(Y_{+} ,Y^-\) définies de manière analogue pour \(Y\).

  3. Traiter le cas où \(X,Y\) sont à valeurs dans \(\mathbb{R}\). On utilisera les variables aléatoires \(X_n=\lfloor nX\rfloor\), \(Y_n=\lfloor nY\rfloor\) avec \(n\in \mathbb{N}^*\).

  4. Traiter le cas où \(X,Y\) sont à valeurs complexes.


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[ID: 4883] [Date de publication: 14 mai 2024 13:00] [Catégorie(s): Espérance et variance ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Variables indépendantes
Par Michel Quercia le 14 mai 2024 13:00
  1. \(\min(|X|,|Y|)\mathop{\rm sgn}\nolimits(XY)= \min(X_{+} ,Y_{+} )+\min(X^-,Y^-)-\min(X_{+} ,Y^-)-\min(X^-,Y_{+} )\) ;

    \[\begin{aligned} \mathbb E (\min(X_{+} ,Y_{+} )) &=\sum_{n=0}^\infty \mathbb P (\min(X_{+} ,Y_{+} )>n)\\ &=\sum_{n=0}^\infty \mathbb P (X_{+} >n,Y_{+} >n)\\ &=\sum_{n=0}^\infty \mathbb P (X_{+} >n)\mathbb P (Y_{+} >n) \end{aligned}\] et de même pour les autres espérances. Il vient \[\begin{aligned} \mathbb E (|X+Y|)&-\mathbb E (|X-Y[)\\ &=2\sum_{n=0}^\infty (\mathbb P (X_{+} >n)\mathbb P (Y_{+} >n)+\mathbb P (X^->n)\mathbb P (Y^->n)\\ &\phantom{=2\sum_{n=0}^\infty (}-\mathbb P (X_{+} >n)\mathbb P (Y^->n)-\mathbb P (X^->n)\mathbb P (Y_{+} >n))\\ &=2\sum_{n=0}^\infty (\mathbb P (X_{+} >n)-\mathbb P (X^->n))(\mathbb P (Y_{+} >n)-\mathbb P (Y^->n))\\ &=2\sum_{n=0}^\infty (\mathbb P (X_{+} >n)-\mathbb P (X^->n))^2 \\ &\geq 0. \end{aligned}\]

  2. \(X_n\),\(Y_n\) sont à valeurs entières, indépendantes de même loi et ont une espérance car \(|X_n|\leq n(|X|+1)\) donc \(\mathbb E (|X_n+Y_n|)\geq \mathbb E (|X_n-Y_n|)\).

    Par ailleurs \(\bigl|\frac1n|X_n\pm Y_n|-|X\pm Y|\,\bigr|\leq \frac2n\), d’où \(\mathbb E (|X+Y|)\geq \mathbb E (|X-Y|)-\frac4n\) et on fait tendre \(n\) vers \(+\infty\).


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