Dans l’énoncé, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(3\) et \(N\) un entier naturel non nul.

Un jeu oppose \(n\) joueurs notés \(J_{1},\dots,J_n\). Le jeu consiste à lancer \(N\) fois une pièce équilibrée. Avant les lancers, chaque joueur écrit une liste de prévisions pour les lancers. Les gagnants sont les joueurs ayant obtenu le plus grand nombre de prévisions correctes : ils se partagent alors la somme de \(S\) euros.

Dans la suite, on abrégera pile en \(P\) et face en \(F\). Par exemple, si \(N=3\) et si les lancers donnent \(PPF\), le joueur ayant prédit \(PFP\) aura une prévision correcte (l’ordre compte). Pour \(i\in \llbracket 1,n\rrbracket\), on note \(X_i\) le nombre de prévisions correctes du joueur \(J_i\) et \(G_i\) son gain.

  1. Dans cette question, on suppose que les joueurs choisissent leur prédiction au hasard indépendamment les uns des autres. On admet que dans ces conditions, les variables aléatoires \(X_i\) sont mutuellement indépendantes et de même loi.

    1. Justifier que les variables \(G_i\) ont même loi. On ne demande pas de déterminer explicitement cette loi.

    2. Justifier que l’espérance de \(G_i\) est \(S/n\) pour tout \(i\).

    3. Vérifier expérimentalement ce fait à l’aide d’une simulation en Python.

  2. Dans cette question, on suppose que les joueurs \(J_{1},J_{3} ,\dots,J_n\) choisissent leur prédiction au hasard indépendamment les uns des autres et le joueur \(J_{2}\) choisit les prévisions contraires de celles de \(J_{1}\). Par exemple, si \(N=3\) et \(J_{1}\) choisit \(PFP\) alors \(J_{2}\) choisit \(FPF\). On admet qu’alors les variables aléatoires \(X_{1},X_{3} ,\dots,X_n\) sont mutuellement indépendantes de même que les variables \(X_{2},X_{3} ,\dots,X_n\). A l’issue du jeu, les joueurs \(J_{1}\) et \(J_{2}\) se partagent leurs gains éventuels. On pose \(G'=G_{1}+G_{2}\) et \(Y=\max(X_{1},X_{2})\). On suppose enfin que \(N\) est impair : \(N=2p+1\).

    1. Montrer que les \(X_i\) suivent toutes la même loi que l’on précisera. Dans la suite, on notera \(q_k=\mathbb P (X_i=k)\) et \(\tau _k=\mathbb P (X_i\leq k)\).

    2. Préciser l’ensemble \(V\) des valeurs prises par \(Y\).

    3. Soient \(j\in \llbracket 1,n-1\rrbracket\) et \(k\in V\). Calculer \(\mathbb P (G'=S/j, Y=k)\) en fonction de \(q_k\) et \(\tau _{k-1}\).

    4. En déduire \(\mathbb E (G'), \mathbb E (G_{1})\) et \(\mathbb E (G_{2})\). La stratégie adoptée par \(J_{1}\) et \(J_{2}\) est-elle avantageuse ?

  3. Reprendre le modèle de la question précédente en supposant \(N\) pair : \(N=2p\). On vérifiera qu’alors \(\mathbb E (G')=\dfrac{2S}{n-1}\Bigl(1-\dfrac{\tau _p^n}{nq_p}+\dfrac{\tau _{p-1}^n}{nq_p}\Bigr)\). La stratégie adoptée par \(J_{1}\) et \(J_{2}\) est-elle avantageuse ?


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[ID: 4877] [Date de publication: 14 mai 2024 12:10] [Catégorie(s): Variables aléatoires particulières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Association de parieurs (Centrale MP 2015)
Par Michel Quercia Emmanuel Vieillard-Baron le 14 mai 2024 12:10
    1. Pour \(x=(x_{1},\dots,x_n)\in \llbracket 0,N\rrbracket^n\) on note \(f(x) = \max(x_{1},\dots,x_n)\), \(h(x) = \mathop{\rm card}\nolimits\{ i\text{ tq }x_i=f(x)\}\) et \(g_i(x) = S/h(x)\) si \(x_i=f(x)\), \(g_i(x)=0\) sinon.

      Ainsi pour toute issue \(\omega\), on a \(G_i(\omega )=g_i(X_{1}(\omega ),\dots,X_n(\omega ))\) d’où pour \(g\in \mathbb{R}\) et \(\sigma \in S_n\) : \[\begin{aligned} \mathbb P (G_i=g) &= \sum_{x\in \llbracket 0,N\rrbracket ^n\text{ tq }g_i(x)=g}\mathbb P (X_{1}=x_{1},\dots,X_n=x_n)\\ &= \sum_{x\in \llbracket 0,N\rrbracket^n\text{ tq }g_i(x)=g}\mathbb P (X_{1}=x_{1})\dots\mathbb P (X_{1}=x_n)\\ &= \sum_{x\in\llbracket 0,N\rrbracket ^n\text{ tq }g_i(x)=g}\mathbb P (X_{1}=x_{\sigma (1)})\dots\mathbb P (X_{1}=x_{\sigma (n)})\\ &= \sum_{y\in \llbracket 0,N\rrbracket^n\text{ tq }g_{\sigma ^{-1}(i)}(y)=g}\mathbb P (X_{1}=y_{1})\dots\mathbb P (X_{1}=y_n)\\ &=\mathbb P (G_{\sigma ^{-1}(i)}=g). \end{aligned}\]

    1. \(p_k=2^{-N}\binom{N}{k}\).

    2. \(V=\llbracket p+1,N\rrbracket\).

    3. \(\mathbb P (G'=S/j, Y=k) = \mathbb P (G'=S/j, X_{1}=k) + \mathbb P (G'=S/j, X_{1}=N-k) = 2\binom{n-2}{j-1}q_k^j\tau _{k-1}^{n-1-j}\).

    4. \[\begin{aligned} \mathbb E (G') &= \sum_{k=p+1}^N\sum_{j=1}^{n-1}\dfrac{2S}j\binom{n-2}{j-1}q_k^j\tau _{k-1}^{n-1-j}\\ &= \sum_{k=p+1}^N\sum_{j=1}^{n-1}\dfrac{2S}{n-1}\binom{n-1}{j}q_k^j\tau _{k-1}^{n-1-j}\\ &= \sum_{k=p+1}^N\dfrac{2S}{n-1}\Bigl((q_k+\tau _{k-1})^{n-1}-\tau _{k-1}^{n-1}\Bigr)\\ &= \sum_{k=p+1}^N\dfrac{2S}{n-1}\Bigl(\tau _k^{n-1}-\tau _{k-1}^{n-1}\Bigr)\\ &= \dfrac{2S}{n-1}\Bigl(\tau _N^{n-1}-\tau _p^{n-1}\Bigr)\\ &= \dfrac{2S}{n-1}\Bigl(1-\dfrac1{2^{n-1}}\Bigr). \end{aligned}\]

      Comme \(G_{1}=G_{2}=\frac12G'\), on obtient \(\mathbb E (G_{1})=\mathbb E (G_{2})=\dfrac{S}{n-1}\Bigl(1-\dfrac1{2^{n-1}}\Bigr) > \dfrac Sn\) pour tout \(n\geq 3\).

  1. Calculs abominables \(\dots\) En admettant la formule donnée, \(\tau _p^n-\tau _{p-1}^n\simeq nq_p\tau _p^{n-1}\) par accroissements finis, et \(\tau _p\simeq\frac12\) donc \(J_{1}\) et \(J_{2}\) ont probablement encore intérêt à s’associer.


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