Au jeu de pile ou face infini avec une pièce équilibrée, on considère les variables aléatoires \(T_{XY} =\) nombre de lancers jusqu’à obtenir la séquence \(XY\)\(X,Y\in \{ P,F\}\).

  1. Déterminer les lois et les espérances de \(T_{PP},T_{PF},T_{FP},T_{FF}\).

  2. Calculer \(\mathbb P (T_{PP}>T_{PF})\) et \(\mathbb P (T_{PP}>T_{FP})\).

  3. Déterminer les lois de \(T_{PPF}\) et \(T_{FPP}\) en fonction de la loi de \(T_{PP}\) et leurs espérances.

  4. Calculer \(\mathbb P (T_{PPF}>T_{FPP})\).


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[ID: 4875] [Date de publication: 14 mai 2024 12:09] [Catégorie(s): Variables aléatoires particulières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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Temps d’attente
Par Michel Quercia le 14 mai 2024 12:10
  1. \(\mathbb P (T_{PP}=k) = \frac12\mathbb P (T_{PP}=k-1)+\frac14\mathbb P (T_{PP}=k-2)\) pour \(k\geq 3\),

    \(\mathbb P (T_{PP}=k)=\frac1{2\sqrt 5}((\frac{\sqrt 5+1}4)^{k-1}-(\frac{1-\sqrt 5}4)^{k-1})\), \(\mathbb E (T_{PP})=6\).

    \(\mathbb P (T_{PF}=k)=(k-1)/2^k\), \(\mathbb E (T_{PF})=4\).

  2. \(\mathbb P (T_{PP}<T_{PF}) = \mathbb P (\bigcup _{i=0}^\infty F^iPP)=\frac12\) donc \(\mathbb P (T_{PP}>T_{PF})=\frac12\).

    \(\mathbb P (T_{PP}<T_{FP}) = \mathbb P (PP)=\frac14\) donc \(\mathbb P (T_{PP}>T_{FP})=\frac34\).

  3. \(\mathbb P (T_{PPF}=k,T_{PP}=l )=\mathbb P (T_{PP}=l )/2^{k-l }\) pour \(k>l\) donc \(\mathbb P (T_{PPF}=k) = \sum_{l =2}^{k-1}\mathbb P (T_{PP}=l )/2^{k-l }\).

    \(\mathbb P (T_{FPP}=k)=\frac12\mathbb P (T_{PP}=k-1)+\frac12\mathbb P (T_{FPP}=k-1) =\dots=\sum_{l =1}^{k-2}\mathbb P (T_{PP}=k-l )/2^l =\mathbb P (T_{PPF}=k)\).

    \(\mathbb E (T_{PPF})=\mathbb E (T_{FPP})=\sum_{l =2}^\infty \sum_{k=3}^\infty k\mathbb P (T_{PP}=l )/2^{k-l } =\sum_{l =2}^\infty (l +2)\mathbb P (T_{PP}=l )=\mathbb E (T_{PP})+2=8\).

  4. Il est presque sûr que \(PP\) apparait au moins une fois au cours d’une infinité de lancers. La seule possibilité pour que \(PPF\) apparaisse avant \(FPP\) est que la suite des tirages commence par \(PP\). Donc \({\mathbb P (T_{PPF}>T_{FPP})=\frac34}\).


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