On lance une infinité de fois une pièce ayant une probabilité \(p\in {]0,1[}\) de donner pile, les lancers étant mutuellement indépendants. Si \(\omega \in \{ P,F\} ^\mathbb{N}\), on décompose \(w\) en sous-suites de résultats consécutifs identiques, appelés séries, le résultat changeant d’une série à la suivante et on note \(L_{1}(\omega ),L_{2}(\omega ),\dots\) les longueurs de ces séries. Par exemple, si \(\omega =FFFPFPPPPFP\dots\), on a \(L_{1}(\omega )=3\), \(L_{2}(\omega )=1\), \(L_{3} (\omega )=1\), \(L_4(\omega )=4,L_5(\omega )=1\).

Les fonctions \(L_{1},L_{2},\dots\) sont bien définies sur le sous-ensemble \(\Omega '\) de \(\Omega =\{ P,F\} ^\mathbb{N}\) constitué des suites comportant une infinité de \(P\) et une infinité de \(F\).

  1. Prouver que \(\Omega '\) est un évènement et que \(\mathbb P (\Omega ')=1\).

    Dans la suite de l’exercice, on se place dans l’espace probabilisé constitué de \(\Omega '\), des évènements inclus dans \(\Omega '\) et de la restriction de \(\mathbb P\) à ces évènements. On admet que \(L_{1},L_{2},\dots\) sont des variables aléatoires sur cet espace probabilisé.

  2. Déterminer la loi de \(L_{1}\) et son espérance.

  3. Déterminer la loi conjointe de \((L_{1},L_{2})\). En déduire la loi de \(L_{2}\) et son espérance.

  4. Expliquer pourquoi \(L_{1}\) et \(L_{2}\) n’ont pas même loi. \(L_{1},L_{2}\) sont-elles indépendantes ?

  5. Montrer que \(L_{3}\) a même loi que \(L_{1}\), et que \(L_{1},L_{3}\) ne sont pas indépendantes si \(p\neq \frac12\).


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[ID: 4873] [Date de publication: 14 mai 2024 12:09] [Catégorie(s): Variables aléatoires particulières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Séries dans je jeu de pile ou face infini
Par Michel Quercia le 14 mai 2024 12:09
  1. Soit \(P_{m,n}=\) au cours des \(n\) premiers lancers, il sort exactement \(m\) pile .

    On a \(\mathbb P (P_{m,n})=\binom{n}{m}p^mq^{n-m}\to _{n\to \infty }0\) à \(m\) fixé car \(q=1-p<1\). Donc la probabilité qu’une suite infinie donne exactement \(m\) pile est nulle, et par union dénombrable, la probabilité qu’une suite infinie comporte un nombre fini de pile est elle aussi nulle. Comme \(p<1\), on a de même \(\mathbb P (\)il y a un nombre fini de face\()=0\), puis par union, \(\mathbb P (\overline{\Omega '})=0\).

    Dans la suite de l’exercice, on se place dans l’espace probabilisé constitué de \(\Omega '\), des évènements inclus dans \(\Omega '\) et de la restriction de \(\mathbb P\) à ces évènements. On admet que \(L_{1},L_{2},\dots\) sont des variables aléatoires sur cet espace probabilisé.

  2. En conditionnant par le résultat du premier tirage, on trouve

    \(\mathbb P (L_{1}=k)=p^kq+pq^k\), d’où \(\mathbb E (L_{1})=p/q+q/p\).

  3. \(\mathbb P (L_{1}=k,L_{2}=l )=p^{k+1}q^l +p^l q^{k+1}\), \(\mathbb P (L_{2}=l )=p^2 q^{l -1}+p^{l -1}q^2\), \(\mathbb E (L_{2})=2\).

  4. \(L_{2}\) est la longueur de la première série d’une suite amputée d’un nombre aléatoire de termes, il n’y a aucune raison pour qu’elle ait même loi que la longueur de la première série d’une suite non amputée (ou amputée d’un nombre fixé de termes).

    \(\mathbb P (L_{1}=1,L_{2}=1)=\mathbb P (L_{1}=1)\mathbb P (L_{2}=1)\Leftrightarrow p=q=\frac12\) et lorsque cette condition est réalisée, on constate que la loi conjointe de \((L_{1},L_{2})\) est bien la loi produit des lois de \(L_{1}\) et \(L_{2}\), identiques dans ce cas.

  5. \(\mathbb P (L_{1}=i,L_{2}=j,L_{3} =k)=p^{i+k}q^{j+1}+p^{j+1}q^{i+k}\), \(\mathbb P (L_{1}=i,L_{3} =k)=p^{i+k-1}q^2 +p^2 q^{i+k-1}\), \(\mathbb P (L_{3} =k)=p^kq+pq^k\).


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