On dispose d’une pièce ayant la probabilité \(p\in {]0,1[}\) de donner pile et on réalise l’expérience suivante :

– on lance la pièce autant de fois que nécessaire pour obtenir pile. Soit \(N\) le nombre de lancers effectués.

– on lance à nouveau la pièce \(N\) fois et on compte le nombre \(X\) de pile obtenus.

  1. Quelle est la loi de \(N\) ?

  2. Quelle est la loi de \(X\) ?

  3. Calculer \(\mathbb E (X)\).


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[ID: 4871] [Date de publication: 14 mai 2024 12:09] [Catégorie(s): Variables aléatoires particulières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Nombre aléatoire de lancers
Par Michel Quercia le 14 mai 2024 12:09
  1. \(\mathbb P (N=k)=pq^{k-1}\).

  2. \(\mathbb P (X=x|N=k) = \binom{k}{x}p^xq^{k-x}\), \(\mathbb P (X=x)=q^{x-1}/(1+q)^{x+1}\) si \(x\geq 1\) et \(\mathbb P (X=0)=q/(1+q)\).

  3. \(\mathbb E (X)=1\).


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