Soient \(X,Y\) deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes et de même loi, ayant une espérance. On se propose de prouver : \(\mathbb E (|X+Y|)\geq \mathbb E (|X|)\).

  1. Traiter le cas particulier où \(X\) est à valeurs dans \(\{ -1,1\}\).

  2. Dans le cas général, on note \(a=\sum_{x\geq 0}x\mathbb P (X=x)\), \(b=\sum_{x<0}|x|\mathbb P (X=x)\), \(p=\mathbb P (X\geq 0)\) et \(q=\mathbb P (X<0)=1-p\).

    1. En remarquant que \(|x+y|\geq |x|-|y|\) quand \(x\) et \(y\) sont deux réels de signes contraires, montrer que \(\mathbb E (|X+Y|) \geq 2(ap+bq) + 2|aq-bp|\).

    2. Déterminer la valeur minimale de ce minorant à \(a,b\) fixés quand \(p\) décrit \([0,1]\) et conclure.

  3. Donner un cas où l’on a \(\mathbb E (|X+Y|)<\mathbb E (|X|)\) avec \(X,Y\) non indépendantes mais de même loi et un cas avec \(X,Y\) indépendantes mais de lois différentes.


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[ID: 4869] [Date de publication: 14 mai 2024 12:09] [Catégorie(s): Variables aléatoires particulières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Variables indépendantes
Par Michel Quercia le 14 mai 2024 12:09
  1. Soient \(p=\mathbb P (X=1)\) et \(q=\mathbb P (X=-1)=1-p\).

    On a \(\mathbb E (|X+Y|)-\mathbb E (|X|)=2p^2 +2q^2 -1=2p^2 +2q^2 -(p+q)^2 =(p-q)^2 \geq 0\).

    1. \[\begin{aligned} \mathbb E (|X+Y|)&=\sum_{x\geq 0,y\geq 0}|x+y|\mathbb P (X=x)\mathbb P (Y=y)\\ &+\sum_{x\geq 0,y<0}|x+y|\mathbb P (X=x)\mathbb P (Y=y)\\ &+\sum_{x<0,y\geq 0}|x+y|\mathbb P (X=x)\mathbb P (Y=y)\\ &+\sum_{x<0,y<0}|x+y|\mathbb P (X=x)\mathbb P (Y=y)\\ &=A+B+C+D. \end{aligned}\] \(A = \sum_{x\geq 0,y\geq 0}x\mathbb P (X=x)\mathbb P (Y=y) + \sum_{x\geq 0,y\geq 0}y\mathbb P (X=x)\mathbb P (Y=y) = 2ap\). \(D = 2bq\) et \(B=C\geq aq-bp\) (calculs analogues).

      D’où \(\mathbb E (|X+Y|)\geq 2(ap+bq) + 2(aq-bp)\). Si \(aq-bp\geq 0\) c’est bon. Sinon, on obtient \(bp-aq\) en utilisant \(|x+y|\geq |y|-|x|\).

    2. Pour \(a=b=0\), le minorant est constamment nul et dans ce cas, \(\mathbb E (|X|)=a+b=0\).

      Pour \(a+b>0\), le plus petit minorant est \((2a^2 +2b^2 )/(a+b)\geq a+b=\mathbb E (|X|)\), atteint pour \(p=a/(a+b)\).

  2. Pour \(X,Y\) dépendantes, prendre \(Y=-X\) avec \(\mathbb P (X=1)=\mathbb P (X=-1)=\frac12\).

    Pour \(X,Y\) indépendantes de lois distinctes, prendre \(X=1\), \(\mathbb P (Y=1)=\frac13\), \(\mathbb P (Y=-1)=\frac23\).


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