Un sac contient \(n\) jetons numérotés de \(1\) à \(n\). On tire indépendament et avec remise des jetons jusqu’à ce que chaque numéro soit sorti au moins une fois. Soient \(N\) le nombre (aléatoire) de jetons tirés et \(S\) la liste des numéros, sans répétition, dans l’ordre où ils ont été tirés.

  1. Prouver que \(\mathbb P (N<\infty )=1\).

  2. On note \(N_{1}\) le nombre de jetons tirés avant de tirer un jeton différent du premier, \(N_{2}\) le nombre de jetons supplémentaires tirés avant de tirer un jeton différent des deux premiers, etc. Déterminer les lois de \(N_{1},N_{2},\dots\) et en déduire \(\mathbb E (N)\).

  3. Prouver que \(S\) est uniformément distribuée sur l’ensemble des permuations \(S_n\).


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[ID: 4865] [Date de publication: 14 mai 2024 12:09] [Catégorie(s): Variables aléatoires particulières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Permutation aléatoire
Par Michel Quercia le 14 mai 2024 12:09
  1. La probabilité que le jeton \(j\) ne soit pas tiré au cours des \(k\) premiers tirages est \((1-1/n)^k\to _{k\to \infty }0\). En conditionnant par \(j\) on obtient \(\mathbb P (N=\infty )=0\).

  2. \(\mathbb P (N_i=k) = (i/n)^{k-1}(1-i/n)\), \(\mathbb E (N_i)=n/(n-i)\) et \(\mathbb E (N)=\mathbb E (N_{1})+\dots+\mathbb E (N_{n-1})=nH_{n-1}\).

  3. Pour \(\sigma \in S_n\), on a \(\mathbb P (S=\sigma |N_{1}=k_{1},\dots,N_{n-1}=k_{n-1}) =1^{k_{1}-1}2^{k_{2}-1}\dots(n-1)^{k_{n-1}-1}/n^{k_{1}+\dots+k_{n-1}}\) est indépendant de \(\sigma\).


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