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Urne de Polya
Un sac contient deux pièces de 1 euro et une pièce d’or (indiscernable des autres au toucher). Vous pouvez tirer dans ce sac jusqu’à l’obtention de la pièce d’or selon les règles suivantes:
\(\bullet\) avant chaque tirage, vous ajoutez deux pièces de 1 euro dans le sac;
\(\bullet\) à chaque tirage, vous tirez une pièce et vous la gardez.
Soit \(X\) le nombre de tirages nécessaires à l’obtention de la pièce d’or (\(X=+\infty\) si vous ne l’obtenez jamais).
Quelle est la loi de \(X\)? A-t-elle une espérance? Si oui, la calculer.
La pièce d’or vaut \(\alpha\) euros \((\alpha \in \llbracket 2,+\infty\rrbracket\)). Quelle est la probabilité que vous gagniez de l’argent?
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[ID: 4863] [Date de publication: 14 mai 2024 12:09] [Catégorie(s): Variables aléatoires particulières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Urne de Polya
Par Michel Quercia le 14 mai 2024 12:09
Par Michel Quercia le 14 mai 2024 12:09
\(\mathbb P (X=1)=\dfrac{1}{5}\) et \(\mathbb P (X=r)=\mathbb P (X=r|X>r-1)\mathbb P (X>r-1)=\dfrac{1}{r+4}\prod_{k=2}^{r}\limits\dfrac{k+2}{k+3}=\dfrac{4}{(r+3)(r+4)}.\) La série diverge, il n’y a pas d’espérance.
la probabilité de gagner de l’argent est égale à \(\mathbb P (X\leq \alpha -1)=\sum_{r=1}^{\alpha -1}4(\dfrac{1}{r+3}-\dfrac{1}{r+4})=\dfrac{\alpha -1}{\alpha +3}\mathop{\longrightarrow} _{\alpha \rightarrow \infty }\limits 1\)
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