Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On tire au hasard une boule, on note sa couleur, puis on la remet dans l’urne et on y ajoute une nouvelle boule de cette même couleur. On tire à nouveau au hasard une boule, on note sa couleur puis on la remet dans l’urne avec une nouvelle boule de cette même couleur, et ainsi de suite. Les tirages successifs sont supposés mutuellement indépendants. Soit \(X_n\) le nombre de boules blanches tirées au cours de \(n\) premiers tirages. Déterminer la loi de \(X_n\).


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[ID: 4861] [Date de publication: 14 mai 2024 12:09] [Catégorie(s): Variables aléatoires particulières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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Urne de Polya
Par Michel Quercia Emmanuel Vieillard-Baron le 14 mai 2024 12:09

\(\mathbb P (X_n=k)=\dfrac1{n+1}((n-k)\mathbb P (X_{n-1}=k)+k\mathbb P (X_{n-1}=k-1))\). Par récurrence sur \(n\), \(\mathbb P (X_n=k)=\dfrac1{n+1}\) pour \(k\in \llbracket 0,n\rrbracket\).


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