On démontre dans cet exercice qu’il n’existe par de probabilité \(\mathbb P\) sur \(\mathbb{N}\) vérifiant : pour tout \(k\in \mathbb{N}^*\), la probabilité qu’un entier choisi au hasard selon la probabilité \(\mathbb P\) soit divisible par \(k\) est égale à \(1/k\). Pour cela, on raisonne par l’absurde ; soit \(\mathbb P\) une telle probabilité.

  1. Montrer que si \(k_{1},\dots,k_m\) sont des entiers non nuls et deux à deux premiers entre eux, alors les évènements \(A_i =\)  \(n\) est divisible par \(k_i\) sont mutuellement indépendants.

  2. Montrer que l’évènement \(A =\)  \(n\) n’est divisible par aucun facteur premier est de probabilité nulle.

  3. Généraliser et conclure.


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[ID: 4859] [Date de publication: 16 avril 2024 14:12] [Catégorie(s): Etude de probabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(\mathbb P (k\mathbb{N})=1/k\) ?
Par Michel Quercia Emmanuel Vieillard-Baron le 16 avril 2024 14:12
  1. \(\prod _{p\text{ premier}}(1-1/p)=0\).

  2. De même, si \(p_{1},\dots,p_k\) sont premiers distincts alors \[\mathbb P (n\text{ n'a pas de diviseur premier en dehors de }p_{1},\dots,p_k)=0\] et par union croissante : \(\mathbb P (\mathbb{N}\setminus \{ 1\} )=0\), en contradiction avec \(\mathbb P (2\mathbb{N})=\frac12\).


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