Soit \((\mathbb P _k)_{k\in \mathbb{N}}\) une suite de probabilités sur \(\mathbb{N}\) (avec la tribu \(\mathcal P (\mathbb{N})\)). On suppose que pour tout entier \(n\in \mathbb{N}\), la suite \((\mathbb P _k(\{ n\} ))\) est convergente, de limite \(p_n\in {[0,1]}\).

  1. \(\,\)

    1. Montrer que \(\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n\leq 1\).

    2. Donner un exemple où la somme est strictement plus petite que \(1\).

  2. On suppose que \(\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n=1\) et on pose pour \(k,n\in \mathbb{N}\) : \(a_{n,k} = \min(\mathbb P _k(\{ n\} ),p_n)\).

    1. Montrer que \(\sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}\to _{k\to \infty }1\) et en déduire \(\sum_{n\in \mathbb{N}}|\mathbb P _k(\{ n\} )-p_n|\to _{k\to \infty }0\).

    2. Pour \(X\subset \mathbb{N}\), montrer que \(\mathbb P _k(X)\to _{k\to \infty }\sum_{n\in X}p_n\).

    3. Prouver enfin que l’application \(X\mapsto \lim_{k\to \infty }(\mathbb P _k(X))\) est une probabilité sur \(\mathbb{N}\).


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[ID: 4857] [Date de publication: 16 avril 2024 14:12] [Catégorie(s): Etude de probabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Limite de probabilités
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:12
    1. Passer à la limite dans une somme finie.

    2. \(\mathbb P _k(X) = 1\) si \(k\in X\), \(0\) sinon.

    1. Pour \(N\) fixé, \(\sum_{n\leq N}a_{n,k}\to _{k\to \infty }\sum_{n\leq N}p_n\) et pour \(k\) fixé, \(\sum_{n\leq N}a_{n,k}\to _{N\to \infty }\sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}\). Cette dernière convergence est uniforme par rapport à \(k\) car \(a_{n,k}\leq p_n\) donc on peut intervertir les limites : \(\sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}\to _{k\to \infty }\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n=1\).

      La deuxième convergence résulte de la relation \(|\mathbb P _k(\{ n\} )-p_n| = \mathbb P _k(\mathbb{N})+p_n-2a_{n,k}\).

    2. \(|\mathbb P _k(X)-\sum_{n\in X}p_n|\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}|\mathbb P _k(\{ n\} )-p_n|\).


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