Soit \(s\in {]1,+\infty [}\) et \(\rho _s : \mathcal P (\mathbb{N}^*) \rightarrow [0,1], A \mapsto \dfrac 1{\zeta (s)}\sum_{k\in A}\dfrac 1{k^s}\)\(\zeta (s) =\sum_{k\in \mathbb{N}^*}\dfrac1{k^s}\).

  1. Montrer que \(\rho _s\) est une probabilité.

  2. Soit \(n\in \mathbb{N}^*\) et \(A_n\) le sous-ensemble de \(\mathbb{N}^*\) constiué des multiples de \(n\). Calculer \(\rho _s(A_n)\).

  3. Soit \((l _{1},\dots,l _n,\dots)\) la suite des nombres premiers. Montrer que les évènements \(A_{l _{1}},\dots,A_{l _n},\dots\) sont mutuellement indépendants pour la probabilité \(\rho _s\).

  4. En déduire que \(\dfrac1{\zeta (s)}=\prod _{i=1}^\infty \Bigr(1-\dfrac1{l _i^s}\Bigl)\).


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[ID: 4854] [Date de publication: 16 avril 2024 14:08] [Catégorie(s): Calculs de probabilités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Fonction \(\zeta\), Mines-Ponts 2015
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:08
  1. \(1/n^s\).

  2. Les évènements contraires \((k\) n’est pas divisible par \(l _i)\) sont aussi mutuellement indépendants donc le produit de leurs probabilités est la probabilité de leur intersection qui est égale à \(\{ 1\}\).


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