On lance une pièce équilibrée jusqu’à obtenir deux fois plus de Face que de Pile. Quelle est la probabilité de ne jamais y arriver ?


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[ID: 4850] [Date de publication: 16 avril 2024 14:08] [Catégorie(s): Calculs de probabilités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Déséquilibre
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:08

Soient \(p_n\), \(f_n\) les nombres de Pile et de Face obtenus au cours des \(n\) premiers lancers et soit \(x_n = 2p_n-f_n\) (\(n\in \mathbb{N}\)). Pour \(k\in \mathbb{Z}\) et \(n\in \mathbb{N}\), on note \(A_{k,n}\) l’évènement \(\{ x_n=k\}\) et \(A_k = \bigcup _{n\in \mathbb{N}}A_{k,n}\). \(A_k\) est l’évènement : \(\{\)on aboutit en un nombre fini de lancers à la situation où \(2p_n-f_n = k\}\) et la probabilité demandée est \(1-\frac12\mathbb P (A_{-2})-\frac12\mathbb P (A_{1})\), par disjonction de cas selon le résultat du premier lancer.

Toujours par disjonction de cas, \(\mathbb P (A_k) = \frac12\mathbb P (A_{k-2}) + \frac12\mathbb P (A_{k+1})\), équation de récurrence ayant pour racines \(a=1\), \(b=\frac{\sqrt 5-1}2\), \(c=-\frac{\sqrt 5+1}2\). Donc \(\mathbb P (A_k) = \alpha +\beta b^k+\gamma c^k\) pour tout \(k\in \mathbb{Z}\)\(\alpha ,\beta ,\gamma\) sont des constantes. Comme la suite \((\mathbb P (A_k))\) est bornée, \(\beta =\gamma =0\) donc \(\alpha =\mathbb P (A_{0} )=1\) et la probabilité de ne jamais avoir \(2p_n=f_n\) est nulle.


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