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Équilibre
On lance une infinité de fois une pièce et on considère les ensembles de résultats suivants :
\(A_n = \{\) sur les \(2n\) premiers lancers, il est apparu autant de \(P\) que de \(F \}\).
\(B_n = \{\) sur les \(2n\) premiers lancers, il est apparu pour la première fois autant de \(P\) que de \(F \}\).
\(C = \{\) sur l’ensemble des lancers, \(P\) et \(F\) sont arrivés à égalité au moins une fois \(\}\).
\(D = \{\) sur l’ensemble des lancers, \(P\) et \(F\) sont arrivés à égalité une infinité de fois \(\}\).
Montrer que ce sont des évènements.
Calculer \(\mathbb P (A_n)\) et \(\mathbb P (B_n)\) pour \(n\in \mathbb{N}^*\).
Calculer \(\mathbb P (C)\). On distinguera les cas \(p\neq q\), \(p=q=\frac12\).
Calculer \(\mathbb P (D)\).
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[ID: 4848] [Date de publication: 16 avril 2024 14:08] [Catégorie(s): Calculs de probabilités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Équilibre
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:08
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:08
\(\mathbb P (A_n)=\binom{2n}{n}(pq)^n\), \(\mathbb P (B_n)=2\binom{2n-2}{n-1}(pq)^n/n\).
\(\mathbb P (C)=\sum_{n=1}^\infty \mathbb P (B_n)=1-\sqrt {1-4pq}=2\min(p,q)\) par DSE dans le cas \(p\neq q\) et par intégration terme à terme, cas réel positif dans le \(p=q=\frac12\).
\(\mathbb P (D)=0\) si \(p\neq q\), \(\mathbb P (D)=1\) si \(p=q=\frac12\).
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L'exercice