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Temps d’attente
On lance une infinité de fois une pièce et on considère l’évènement \(A_k =\) au cours des \(k\) premiers lancers, il n’est jamais sorti trois pile de suite avec la convention \(A_{0} =\Omega\).
En supposant les lancers mutuellement indépendants et la pièce équilibrée, montrer que
\(\mathbb P (A_k) = \frac12\mathbb P (A_{k-1})+\frac14\mathbb P (A_{k-2})+\frac18\mathbb P (A_{k-3})\) pour \(k\geq 3\).
On note \(\alpha ,\beta ,\gamma\) les racines dans \(\mathbb{C}\) du polynôme \(X^3-X^2 /2-X/4-1/8\). Montrer, sans les calculer, que \(\max(|\alpha |,|\beta |,|\gamma |)<1\) et en déduire \(\lim_{k\to \infty }\mathbb P (A_k)\).
Reprendre l’exercice avec l’évènement \(B_k =\) au cours des \(k\) premiers lancers, il n’est jamais sorti la séquence \(PFP\) .
Soit \(S\) une suite fixée dans \(\{ P,F\} ^N\). Montrer, sans calcul, qu’il est presque certain que \(S\) apparaît au moins une fois lors d’une infinité de tirages mutuellement indépendants, avec \(P\) et \(F\) de probabilité \(\frac12\) à chaque lancer. Montrer qu’il est presque certain que \(S\) apparaît une infinité de fois dans les mêmes conditions ; et montrer enfin que ceci reste vrai pour toute pièce vérifiant \(\mathbb P (P)=p\in {]0,1[}\), les lancers étant toujours mutuellement indépendants.
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[ID: 4842] [Date de publication: 16 avril 2024 14:07] [Catégorie(s): Conditionnement ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Temps d’attente
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:07
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:07
Conditionner par le résultat des lancers de rang \(k-3,k-2,k-1\).
Par étude de fonction, il existe une unique racine réelle \(\alpha \in {]\frac12,1[}\). Les deux autres racines sont non réelles conjuguées et \(|\beta |=|\gamma |= \sqrt {1/8\alpha }<\frac12\). \(\mathbb P (A_k)\) est combinaison linéaire des suites \((\alpha ^k)\), \((\beta ^k)\), \((\gamma ^k)\) donc \(\mathbb P (A_k)\to _{k\to \infty }0\).
En conditionnant par le nombre \(n\) de pile consécutifs à la fin des \(k\) lancers, on obtient
\(\mathbb P (B_k)=\frac12\mathbb P (B_{k-1})+\sum_{n=1}^{k-2}\mathbb P (B_{k-n-2})/2^{n+2}\), puis \(\mathbb P (B_{k+1})=\mathbb P (B_k)-\frac14\mathbb P (B_{k-1})+\frac18\mathbb P (B_{k-2})\).
L’équation caractéristique admet à nouveau trois racines \(\alpha \in {]\frac12,1[}\) et \(\beta ,\gamma\) non réelles conjuguées de module \(<\frac12\), d’où \(\mathbb P (B_k)\to _{k\to \infty }0\).
Découper la suite des lancers en blocs de taille \(N\).
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L'exercice