Soient deux réels \(a_0>0\) et \(b_0>0\). On définit deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) par les relations de récurrence : \[\forall n\in \mathbb N, \quad a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n} \quad b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\]

  1. Montrer que \(\forall n\in \mathbb{N}^*\), \(a_n\leqslant b_n\).

  2. Montrer que \((a_n)\) et \((b_n)\) sont monotones à partir du rang 1, qu’elles convergent et qu’elles ont la même limite.


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[ID: 458] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:05] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 528
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:05
  1. On montre par récurrence que : \(\forall n\in \mathbb N\), \(a_n>0\) et \(b_n>0\), ce qui montre que \(a_n\) et \(b_n\) sont définis pour tout \(n\in \mathbb N\). De plus : \[\forall n\in \mathbb N, \quad a_{n+1} =\sqrt{a_n}{\sqrt{b_n}} \leqslant\dfrac{1}{2}( \sqrt{a_n}^2+ \sqrt{b_n}^2 ) =b_{n+1}\] ce qui montre que : \(\forall n\in \mathbb{N}^*\), \(a_n\leqslant b_n\).

  2. Soit \(n\geqslant 1\). Calculons \[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\sqrt{\dfrac{b_n}{a_n}} \geqslant\sqrt{\dfrac{a_n}{a_n}}=1 \textrm{ et } b_{n+1}-b_n = \dfrac{a_n-b_n}{2} \leqslant 0\] (on a utilisé que \(a_n\leqslant b_n\)). Donc \(\forall n\geqslant 1\), \(a_{n+1}\geqslant a_n\) et \(b_{n+1}\leqslant b_n\). On a alors prouvé que \((a_n)\) est croissante et \((b_n)\) décroissante. Puisque \[a_1\leqslant\dots \leqslant a_{n-1}\leqslant a_n \leqslant b_n \leqslant b_{n-1} \leqslant\dots b_1\] La suite \((a_n)\) est croissante et majorée par \(b_1\). Donc elle converge vers \(l\in \mathbb{R}\). De même, la suite \((b_n)\) est décroissante et minorée par \(a_1\), et donc elle converge vers \(l'\in \mathbb{R}\). De plus, la suite \((a_{n+1})\) est extraite de \((a_n)\) et elle converge donc vers \(l\). De même, la suite extraite \((b_{n+1})\) converge vers \(l'\). En passant à la limite dans les relations de récurrence, on obtient : \[l=\sqrt{ll'} \textrm{ et } l = \dfrac{l+l'}{2}\] De la deuxième, on tire que \(l=l'\).

    Les deux suites convergent donc vers la même limite.

( ).
Cette exercice peut être aussi traîté en montrant que les suites \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont adjacentes.

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