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Soit une suite \((u_n)\) bornée vérifiant : \[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad 2u_n \leqslant u_{n+1} + u_{n-1}\] On définit une suite \((v_n)\) en posant pour \(n\in \mathbb N\), \(v_n=u_{n+1}-u_n\). Montrez que la suite \((v_n)\) converge et calculez sa limite.
Exercice 706
( ). Montrez que la suite \((v_n)\) est croissante et majorée. Montrez ensuite par l’absurde que sa limite vaut \(0\). (on pourra si \(l>0\) minorer \((u_n)\) à partir d’un certain rang par une suite qui diverge vers \(+\infty\)).
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[ID: 456] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:05] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 706
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:05
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:05
On calcule pour \(n\geqslant 1\), \[v_n - v_{n-1} =u_{n+1}-2u_n+u_{n-1} \geqslant 0\] et donc la suite \((v_n)\) est croissante. On suppose de plus que \((u_n)\) est bornée : \[\exists M \in \mathbb{R} ~:\quad \forall n \in \mathbb N,\quad-M \leqslant u_n \leqslant M\] Donc \[\forall n\in \mathbb N,\quad v_n =u_{n+1}-u_n \leqslant M +M \leqslant 2M\] La suite \((v_n)\) est donc croissante et majorée par \(2M\).
D’après le théorème de la limite monotone, la suite \((v_n)\) converge vers une limite finie \(l\in \mathbb{R}\).
Montrons par l’absurde que \(l=0\). Supposons que \(l \neq 0\) et étudions les deux cas suivants :
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