Soit une suite \((u_n)\) bornée vérifiant : \[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad 2u_n \leqslant u_{n+1} + u_{n-1}\] On définit une suite \((v_n)\) en posant pour \(n\in \mathbb N\), \(v_n=u_{n+1}-u_n\). Montrez que la suite \((v_n)\) converge et calculez sa limite.
( ).
Montrez que la suite \((v_n)\) est croissante et majorée. Montrez ensuite par l’absurde que sa limite vaut \(0\). (on pourra si \(l>0\) minorer \((u_n)\) à partir d’un certain rang par une suite qui diverge vers \(+\infty\)).

Barre utilisateur

[ID: 456] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:05] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 706
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:05

On calcule pour \(n\geqslant 1\), \[v_n - v_{n-1} =u_{n+1}-2u_n+u_{n-1} \geqslant 0\] et donc la suite \((v_n)\) est croissante. On suppose de plus que \((u_n)\) est bornée : \[\exists M \in \mathbb{R} ~:\quad \forall n \in \mathbb N,\quad-M \leqslant u_n \leqslant M\] Donc \[\forall n\in \mathbb N,\quad v_n =u_{n+1}-u_n \leqslant M +M \leqslant 2M\] La suite \((v_n)\) est donc croissante et majorée par \(2M\).

D’après le théorème de la limite monotone, la suite \((v_n)\) converge vers une limite finie \(l\in \mathbb{R}\).

Montrons par l’absurde que \(l=0\). Supposons que \(l \neq 0\) et étudions les deux cas suivants :

  1. Si \(l>0\), en posant \(k = \dfrac{l}{2}\), puisque \(k<l\), il existe \(N\in \mathbb N\) tel que pour tout \(n \geqslant N\), \(v_n \geqslant\dfrac{l}{2}\). Mais alors pour \(n\geqslant N+1\), on a : \[u_n \geqslant u_{n-1} + \dfrac{l}{2} \geqslant u_{n-2}+2\dfrac{l}{2} \geqslant\dots \geqslant u_{N}+(n-N)\dfrac{l}{2}\] On a alors \(w_n=u_N-N\dfrac{l}{2} + n\dfrac{l}{2} \rightarrow +\infty\) et donc \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty\), ce qui est impossible car on a supposé que la suite \((u_n)\) était bornée.

  2. Si \(l<0\), on montre qu’à partir d’un certain rang, \(v_n \leqslant-\dfrac{l}{2}\). Mais on majore alors \((u_n)\) par une suite qui diverge vers \(-\infty\) ce qui est impossible.


Documents à télécharger