On considère une suite d’entiers \((q_n)\) strictement croissante avec \(q_0 \geqslant 1\). On définit la suite \((u_n)\) de terme général \[u_n = \sum_{k=0}^n \prod_{j=0}^k \dfrac{1}{q_j}.\] Montrer que \((u_n)\) converge.


Barre utilisateur

[ID: 454] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:05] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 710
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:05

On vérifie que la suite est croissante. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a : \[u_{n+1}-u_ n = \prod_{j=0}^{n+1} \dfrac{1}{q_j}>0.\] Ensuite, comme \((q_n)\) est strictement croissante, on peut affirmer que pour tout \(k \geqslant 1\), on a \(q_k \geqslant 2\). Par conséquent, \[u_n \leqslant\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{2^k} = \dfrac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2} \leqslant 2\] La suite \((u_n)\) est croissante et majorée, elle converge d’après le théorème de la limite monotone.


Documents à télécharger