Etudier la suite \(u_{n} = \operatorname{th} 1 + \operatorname{th} 2 + \ldots + \operatorname{th} n - \ln \mathop{\mathrm{ch}}n\).


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[ID: 452] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:05] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 46
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:05

On commence par remarquer que \(x\longmapsto \ln \mathop{\mathrm{ch}}x\) est une primitive de \(\operatorname{th} x\). La suite \(u_{n}\) est croissante : \(u_{n+1} - u_{n} = \operatorname{th} n+1 - \ln ch n+1 + \ln\mathop{\mathrm{ch}}n = \operatorname{th} n+1 - \displaystyle\int_n^{n+1} \operatorname{th} x\,\textrm dx\). Or \(x \longmapsto \operatorname{th} x\) est croissante sur \([n,n+1]\) donc \(\forall x\in[n,n+1]\), \(\operatorname{th} x \leqslant \operatorname{th} n+1\) donc \(\displaystyle\int_n^{n+1} \operatorname{th} x\,\textrm dx \leqslant \int_n^{n+1} \operatorname{th} n+1\,\textrm dx\) soit \(u_{n+1} - u_{n} \geqslant 0\) : la suite \((u_n)\) est croissante.
Pour les mêmes raisons, \(\operatorname{th} k \leqslant \displaystyle\int_k^{k+1} \operatorname{th} x\,\textrm dx\) donc en sommant pour \(k\) variant de \(1\) à \(n\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \operatorname{th} k \leqslant \int_1^{n+1} \operatorname{th} x\,\textrm dx\) soit \(u_n \leqslant \ln \left( {\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}n+1\over\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}n}\right) - \ln\mathop{\mathrm{ch}}1\). La suite \(\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}n+1}{\mathop{\mathrm{ch}}n}\) converge vers \(e\), donc la suite \(\ln \left( {\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}} n+1\over\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}n}\right) - \ln\mathop{\mathrm{ch}}1\) converge vers \(1-\ln \mathop{\mathrm{ch}}1\). Elle est donc majorée. La suite \(u_n\) est donc croissante et majorée, elle est convergente.


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