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[ID: 448] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:05] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 222
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:05

1. Considérons la suite \(\left(u_n\right)\) de terme général \(u_n=\left(-1\right)^n\). Alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) : \[v_n=\begin{cases}0 &\textrm{ si $n$ est pair}\\ -\dfrac{1}{n} &\textrm{ si $n$ est impair}\end{cases} .\] Il est clair que \(\left(v_n\right)\) converge. Pourtant \(\left(u_n\right)\) ne converge pas. La convergence de \(\left(v_n\right)\) n’implique donc pas celle de \(\left(u_n\right)\).

2. Le sens direct consiste en le théorème de Cesáro (voir l’exercice ). Prouvons la réciproque. Supposons que \(\left(v_n\right)\) converge vers une limite \(L\in\mathbb{R}\).

   Comme \(\left(u_n\right)\) est croissante, d’après le théorème de la limite monotone, il n’y a que deux possibilités :

   1. Si la suite \((u_n)\) est majorée, alors on sait que \((u_n)\) converge vers une limite finie \(l'\in \mathbb{R}\). Mais d’après le théorème de Cesáro, \((v_n)\) converge également vers \(l'\). Par unicité de la limite, \(l=l'\) et donc \((u_n)\) converge vers \(l\).

   2. Par l’absurde, si la suite \((u_n)\) n’est pas majorée, alors \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\). A partir d’un certain rang la suite \(\left(v_n\right)\) est donc positive. Mais d’après l’exercice \(\ref{exo_cesaro}\), à partir d’un certain rang, on a : \[v_{2n}\geqslant\dfrac{u_n+v_n}{2} \geqslant\dfrac{u_n}{2} .\] Donc \(v_{2n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}+\infty\) par application du théorème des gendarmes et nécessairement : \(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty\) ce qui vient contredire notre hypothèse, donc \(\left(u_n\right)\) ne peut être majorée.