Soit \((u_n)\) une suite croissante de limite \(l\in\mathbb{R}\). Pour tout \(n \geqslant 1\), on pose \[v_n=\dfrac{u_1+u_2+....+u_n}{n}.\]

  1. Montrer que \((v_n)\) est croissante.

  2. Montrer que \((v_n)\) est majorée et en déduire que \((v_n)\) est convergente vers un réel \(L\).

  3. Établir que \(\forall n \geqslant 1, ~ v_{2n}\geqslant\dfrac{u_n+v_n}{2}\).

  4. En déduire que \(l=L\).

La suite \(\left(v_n\right)\) s’appelle la suite des moyennes de Cesáro de la suite \(\left(u_n\right)\) et on vient de prouver le théorème de Cesáro dans le cas particulier où la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante.


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[ID: 446] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:04] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Moyennes de Cesáro
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:04
  1. Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). \[v_{n+1} - v_n = \dfrac{n u_{n+1} - \left(u_1+u_2+\dots+u_n\right) }{n\left(n+1\right)} = \dfrac{ \left(u_{n+1} - u_n\right) + \left(u_{n+1} - u_{n-1}\right) + \dots+ \left(u_{n+1}-u_2 \right) + \left(u_{n+1}-u_0 \right)}{n\left(n+1\right)}\] Mais la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante, et donc \(u_{n+1} \geqslant u_n \geqslant u_{n-1}\geqslant\dots\geqslant u_2 \geqslant u_1\). Il s’ensuit que : \(\left(u_{n+1} - u_n\right) + \left(u_{n+1} - u_{n-1}\right) + \dots+ \left(u_{n+1}-u_2 \right) + \left(u_{n+1}-u_1 \right) \geqslant 0\). Enfin  : \(v_{n+1} - v_n\geqslant 0\) et \(\left(v_n\right)\) est bien croissante.

  2. La suite \((u_n)\) est croissante de limite \(l\in\mathbb{R}\). Donc \(l\) majore \(\left(u_n\right)\). Il vient alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) : \[v_n = \dfrac{u_1+u_2+....+u_n }{n} \leqslant\dfrac{nl}{n}=l.\] \(\left(v_n\right)\) est donc majorée et comme elle est croissante, par application du théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel \(L\leqslant l\).

  3. Soit \(n\geqslant 1\). \[v_{2n} = \dfrac{u_1+\dots+ u_n + u_{n+1}+\dots+ u_{2n}}{2n} = \dfrac{u_1+\dots+ u_n }{2n} + \dfrac{ u_{n+1}+\dots+ u_{2n}}{2n} = \dfrac{v_n}{2} + \dfrac{ u_{n+1}+\dots+ u_{2n}}{2n}\] Mais comme \(\left(u_n\right)\) est croissante, pour tout \(i\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(u_{n+i}\geqslant u_n\) et donc : \[\dfrac{ u_{n+1}+\dots+ u_{2n}}{2n} \geqslant\dfrac{u_n+\dots+u_n}{2n} = \dfrac{nu_n}{2n}=\dfrac{u_n}{2}.\] Finalement, on a bien : .

  4. Par passage à la limite dans l’inégalité précédente, on obtient : \(L\geqslant{\scriptstyle L+l\over\scriptstyle 2}\) ce qui amène \(L\geqslant l\) et comme on sait que \(L\leqslant l\) alors \(L=l\).


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