Soit \(\left(u_n\right)\) la suite de terme général : \(u_n=\left(1+a\right)\left(1+a^2\right)\dots\left(1+a^n\right)\) avec \(0<a<1\).

  1. Étudier les variations de cette suite.

  2. Prouver l’inégalité : \[\forall x\in\mathbb{R}, \quad 1+x\leqslant e^x\]

  3. En déduire que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.


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[ID: 444] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:04] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 536
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:04
  1. Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). On a : \({\scriptstyle u_{n+1}\over\scriptstyle u_n}=\left(1+a^{n+1}\right)>1\) donc \(\left(u_n\right)\) est croissante.

  2. Il suffit d’étudier la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & e^x-\left(1+x\right) \end{array} \right.\).

  3. Appliquant \(n\) fois l’inégalité précédente avec succssivement \(x=a\), \(x=a^2\), ...,\(x=a^n\) on obtient : \[u_n=\left(1+a\right)\left(1+a^2\right)\dots\left(1+a^n\right)<e^a e^{a^2} e^{a^3} \dots e^{a^n}=e^{a{\scriptstyle 1-a^{n}\over\scriptstyle 1-a}}\leqslant e^{{\scriptstyle a\over\scriptstyle 1-a}}\] La suite \(\left(u_n\right)\) est donc majorée et en appliquant le théorème de la limite monotone, on en déduit que \(\left(u_n\right)\) converge.


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