Étudier la convergence de la suite de terme général : \[u_n={\scriptstyle 1!+2!+\dots+n!\over\scriptstyle n!}\]


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[ID: 442] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:04] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 567
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:04

Soit \(n\in\mathbb{N}\). \[u_{n+1}-u_n={\scriptstyle 1!+2!+\dots+n!+\left(n+1\right)!\over\scriptstyle\left(n+1\right)!}-{\scriptstyle 1!+2!+\dots+n!\over\scriptstyle n!}={\scriptstyle\left(n+1\right)n!-n \left(1!+\dots+n!\right) \over\scriptstyle\left(n+1\right)!}={\scriptstyle n!-n \left(1!+\dots+\left(n-1\right)!\right) \over\scriptstyle\left(n+1\right)!}={\scriptstyle-n \left(1!+\dots+\left(n-2\right)!\right) \over\scriptstyle\left(n+1\right)!}\leqslant 0\] donc \(\left(u_n\right)\) est décroissante. De plus \(\left(u_n\right)\) est positive et donc minorée par \(0\). Par application du théorème de la limite monotone, \(\left(u_n\right)\) est convergente et sa limite est positive.


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