En utilisant le théorème de la limite monotone, prouver la convergence de la suite de terme général \[u_n=\mbox{$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{\scriptstyle 1\over\scriptstyle kn} $}\]


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[ID: 438] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:04] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 621
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:04

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On a : \[\begin{aligned} u_{n+1}-u_n&=& \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{2(n+1)}+\dots+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}-\left(\dfrac{1}{ n } +\dfrac { 1 } { 2n} +\dots+\dfrac{1}{n.n}\right)\\ &=&\left(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{n}\right)+ \dfrac { 1 }{\left(n+1\right)^2}\\ &=& \left(1+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{n}\right)\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}+\dfrac { 1 }{\left(n+1\right)^2}\\ &\leqslant&-\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}+\dfrac { 1 }{\left(n+1\right)^2}\\ &\leqslant&\dfrac{1}{(n+1)^2}-\dfrac{1}{n^2}\\ &\leqslant& 0 \end{aligned}\] car \(1+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{n}\geqslant 1\). Donc \(\left(u_n\right)\) est décroissante. Elle est minorée par \(0\) et donc elle converge d’après le théorème de la limite monotone.


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